[論文レビュー] A de Casteljau Algorithm for Bernstein type Polynomials based on (p,q)-integers

Khalid Khan, D. K. Lobiyal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$(p,q)$-整数に基づく$(p,q)$-Bernstein Bézier曲線および曲面のde Casteljauアルゴリズムを導入し、既存の$q$-Bézier手法を一般化する。次数上昇および低下の性質を確立し、パラメータ$p$と$q$による形状保持を実現する。また、$[0,1]\times[0,1]$ 上のテンソル積曲面へのde Casteljauアルゴリズムの拡張を実施し、$p_1 = p_2 = 1$ のとき$q$-Bézier曲線が回復されることを示す。本手法により、再帰的計算による柔軟な形状制御と効率的な評価が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, a de Casteljau algorithm to compute (p,q)-Bernstein Bezier curves based on (p,q)-integers is introduced. We study the nature of degree elevation and degree reduction for (p,q)-Bezier Bernstein functions. The new curves have some properties similar to q-Bezier curves. Moreover, we construct the corresponding tensor product surfaces over the rectangular domain (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] depending on four parameters. We also study the de Casteljau algorithm and degree evaluation properties of the surfaces for these generalization over the rectangular domain. Furthermore, some fundamental properties for (p,q)-Bernstein Bezier curves are discussed. We get q-Bezier curves and surfaces for (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] when we set the parameter p1 = p2 = 1.

研究の動機と目的

• $(p,q)$-整数に基づく$(p,q)$-Bernstein Bézier曲線のde Casteljauアルゴリズムを構築し、既存の$q$-Bézier手法を一般化すること。
• $(p,q)$-Bézier関数の次数上昇および低下を調査し、形状の保持と制御を保証すること。
• de Casteljauアルゴリズムを長方形領域$(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$ 上のテンソル積曲面に拡張すること。
• $p_1 = p_2 = 1$ のとき、$q$-Bézier曲線および曲面が回復されることを示し、一般化の妥当性を検証すること。

提案手法

• $(p,q)$-整数を用いた再帰的de Casteljauアルゴリズムを提案し、$(p,q)$-Bézier曲線および曲面上の点を計算する。
• $(p,q)$-二項係数および$[k]_{p,q}$整数を用いて$(p,q)$-Bernstein基底関数を定義し、端点の補間を保証する。
• $p$、$q$および多項式の次数に依存する係数$\alpha_i$および$\beta_j$を用いて、次数上昇の公式を導出する。
• 制御点$\mathbf{P}_{i,j}$と基底関数$B^{i,m}_{p_1,q_1}(u)B^{j,n}_{p_2,q_2}(v)$を用いてテンソル積曲面を構築する。
• 再帰的評価ステップの行列形式を用い、$u$および$v$方向の両方でde Casteljauアルゴリズムを再帰的に適用する。
• 再帰的公式$\mathbf{P}^{r,r}_{i,j}(u,v)$を用いて中間の制御点を計算し、最終的に曲面上の点に収束させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-整数を用いたde Casteljauアルゴリズムは、どのように$(p,q)$-Bézier曲線に一般化できるか？
• RQ2 $(p,q)$-Bézier曲線の次数上昇および低下の性質は何か？また、$q$-Bézier曲線と比較するとどうなるか？
• RQ3 de Casteljauアルゴリズムは、どのようにして$(p,q)$-Bézierテンソル積曲面上の点を計算するように拡張できるか？
• RQ4 $(p,q)$-Bézier曲線および曲線において、パラメータ$p$と$q$が提供する形状制御特性は何か？
• RQ5 $(p,q)$-Bézierモデルが古典的$q$-Bézierモデルに還元される条件は何か？

主な発見

• $(p,q)$-Bézier曲線のde Casteljauアルゴリズムは、$p$および$q$に依存する係数を用いた再帰的評価により、成功裏に一般化された。
• $(p,q)$-Bézier曲線における次数上昇および低下は明確に定義されており、新たな制御点を求める明示的な公式が導出された。
• 長方形領域$[0,1]\times[0,1]$ 上にテンソル積$(p,q)$-Bézier曲面が構築され、de Casteljauアルゴリズムによる再帰的評価が可能である。
• $p_1 = p_2 = 1$ のとき、$(p,q)$-Bézierモデルは$q$-Bézierモデルに還元され、先行研究と整合性があることが確認された。
• パラメータ$p$と$q$は効果的な形状制御を提供する：$0<q<p\leq1$ の範囲で$p$および$q$を小さくすると曲線が制御多角形に近づき、大きくすると外側に離れる。
• アルゴリズムは全正性および形状保持性を保ち、端点が制御多角形の頂点と一致する。