[論文レビュー] A deamortization approach for dynamic spanner and dynamic maximal matching

Aaron Bernstein, Sebastian Forster+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、動的スパニヤと動的最大マッチングにおける、初めての多対数的確率的最悪ケース更新時間の上限を提示する。(2k−1)-スパニヤでは最悪ケース時間O(1)k log³(n)、最大マッチングではO(log⁵(n))を達成する。本稿では、最悪ケース期待時間から高確率の最悪ケース更新時間へのブラックボックス還元を導入し、動的グラフ設定において強力な1回あたりの保証を持つ初めてのラスベガスアルゴリズムを実現する。

ABSTRACT

Many dynamic graph algorithms have an amortized update time, rather than a stronger worst-case guarantee. But amortized data structures are not suitable for real-time systems, where each individual operation has to be executed quickly. For this reason, there exist many recent randomized results that aim to provide a guarantee stronger than amortized expected. The strongest possible guarantee for a randomized algorithm is that it is always correct (Las Vegas), and has high-probability worst-case update time, which gives a bound on the time for each individual operation that holds with high probability.In this paper we present the first polylogarithmic high-probability worst-case time bounds for the dynamic spanner and the dynamic maximal matching problem.1. For dynamic spanner, the only known o(n) worst-case bounds were O(n3/4) high-probability worst-case update time for maintaining a 3-spanner and O(n5/9) for maintaining a 5-spanner. We give a O(1)k log3(n) high-probability worst-case time bound for maintaining a (2k − 1)-spanner, which yields the first worst-case polylog update time for all constant k. (All the results above maintain the optimal tradeoff of stretch 2k − 1 and O(n1+1/k) edges.)2. For dynamic maximal matching, or dynamic 2-approximate maximum matching, no algorithm with o(n) worst-case time bound was known and we present an algorithm with O(log5(n)) high-probability worst-case time; similar worst-case bounds existed only for maintaining a matching that was (2 + ϵ)-approximate, and hence not maximal.Our results are achieved using a new approach for converting amortized guarantees to worst-case ones for randomized data structures by going through a third type of guarantee, which is a middle ground between the two above: an algorithm is said to have worst-case expected update time α if for every update σ, the expected time to process σ is at most α. Although stronger than amortized expected, the worst-case expected guarantee does not resolve the fundamental problem of amortization: a worst-case expected update time of O(1) still allows for the possibility that every 1/f(n) updates requires Θ(f(n)) time to process, for arbitrarily high f(n). In this paper we present a black-box reduction that converts any data structure with worst-case expected update time into one with a high-probability worst-case update time: the query time remains the same, while the update time increases by a factor of O(log2(n)).Thus we achieve our results in two steps: (1) First we show how to convert existing dynamic graph algorithms with amortized expected polylogarithmic running times into algorithms with worst-case expected polylogarithmic running times. (2) Then we use our black-box reduction to achieve the polylogarithmic high-probability worst-case time bound. All our algorithms are Las-Vegas-type algorithms.

研究の動機と目的

• リアルタイムシステムにおいて特に顕著な、動的グラフアルゴリズムにおける最悪ケース更新時間の保証の欠如に対処すること。
• 確率的動的グラフアルゴリズムにおいて、均し平均期待時間と強い最悪ケース性能の間のギャップを埋めること。
• 均し平均または最悪ケース期待時間のアルゴリズムを、高確率の最悪ケース更新時間を持つものに変換する一般化手法を開発すること。
• 動的スパニヤと動的最大マッチングにおける、初めての多対数的確率的最悪ケース更新時間の達成すること。
• 基本的な動的グラフ問題に対して、強力な1回あたりの性能保証を持つラスベガスアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 最悪ケース期待更新時間という、新たな中間的保証を導入する。これは均し平均より強く、高確率の最悪ケースより弱い。
• 任意のデータ構造に対して最悪ケース期待更新時間を持つものから、高確率の最悪ケース更新時間を持つものに変換するブラックボックス還元を設計する。
• 還元により、更新時間にO(log²(n))の乗法的オーバーヘッドが生じるが、クエリ時間は維持される。
• まず、既存の均し平均期待多対数的アルゴリズムを、動的スパニヤと最大マッチングに関して最悪ケース期待時間のものに変換する。
• ブラックボックス還元を用いて、これらを高確率の最悪ケース更新時間へとアップグレードし、多対数的境界を達成する。
• すべてのアルゴリズムがラスベガスの性質を保ち、確率1で正しく動作することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストレッチ2k−1の動的スパニヤで、O(n¹⁺¹ᐟᵏ)本の辺を持つ場合、高確率の最悪ケース更新時間を達成できるか？
• RQ2 多対数的高確率の最悪ケース更新時間を持つ動的グラフにおける最大マッチングを維持することは可能か？
• RQ3 均し平均または最悪ケース期待時間の動的グラフアルゴリズムを、高確率の最悪ケース更新時間を持つものに体系的に変換できるか？
• RQ4 クエリ時間の維持を前提とした場合、このような変換による更新時間のオーバーヘッドはどの程度か？
• RQ5 このアプローチにより、基本的な動的グラフ問題に対して、強力な1回あたりの保証を持つ初めてのラスベガスアルゴリズムが得られるか？

主な発見

• 本稿では、最適なO(n¹⁺¹ᐟᵏ)本の辺を持つ(2k−1)-スパニヤを維持するための、高確率の最悪ケース更新時間O(1)k log³(n)を達成する。
• 動的最大マッチングに関しては、高確率の最悪ケース更新時間O(log⁵(n))を提示し、最大マッチングにおける初めてのこのような境界を達成する。
• 本稿では、すべての定数kに対して、動的スパニヤにおける多対数的高確率の最悪ケース更新時間の達成が初めて実現され、長年の未解決問題が解決される。
• ブラックボックス還元により、更新時間はO(log²(n))倍に増加するが、クエリ時間は維持され、最悪ケース期待時間のアルゴリズムを高確率の最悪ケース時間に変換可能である。
• すべてのアルゴリズムがラスベガスであり、確率1で正しく動作し、強力な1回あたりの性能保証が得られる。
• このアプローチは他の動的グラフ問題へ一般化可能であり、確率的データ構造の均し平均化を解消するための新しいフレームワークを提供する。