[論文レビュー] A Decidable Fragment of Second Order Logic With Applications to Synthesis

P. Madhusudan, Umang Mathur+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一階変数、関係的変数、関数的変数に対する ∃∗∀∗ 量化子プレフィックスを備えた、多様なソートの第二階論理の決定可能である部分論理 EQSMT を導入する。プログラムの合成を可能にするために、線形計算法などの背景理論における決定可能な ∃∗∀∗ クエリに充足可能性を還元し、ブラックボックス SMT ソルバを用いることで、決定可能性の保証を伴う自動プログラム合成の実用的フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We propose a fragment of many-sorted second order logic called EQSMT and show that checking satisfiability of sentences in this fragment is decidable. EQSMT formulae have an $\exists^*\forall^*$ quantifier prefix (over variables, functions and relations) making EQSMT conducive for modeling synthesis problems. Moreover, EQSMT allows reasoning using a combination of background theories provided that they have a decidable satisfiability problem for the $\exists^*\forall^*$ FO-fragment (e.g., linear arithmetic). Our decision procedure reduces the satisfiability of EQSMT formulae to satisfiability queries of $\exists^*\forall^*$ formulae of each individual background theory, allowing us to use existing efficient SMT solvers supporting $\exists^*\forall^*$ reasoning for these theories; hence our procedure can be seen as effectively quantified SMT (EQSMT) reasoning. Errata: We have modified the transformation step-2 (page 9) to correct for a slight error. Also, the description above Theorem 10 is different from the published version.

研究の動機と目的

• プログラム合成問題を表現するのに適した決定可能な第二階論理の部分論理の開発を目的とする。
• 線形計算法、実閉体など、背景理論の組み合わせ（例：線形計算法、実閉体）を、決定可能な ∃∗∀∗ 部分論理で扱えるようにすることを目的とする。
• 関係および関数の両方の第二階変数に対して存在的におよび全称的に量化できるが、同時に決定可能性を保証する論理の設計を目的とする。
• EQSMT の充足可能性を、個々の背景理論ソルバへの有限回のブラックボックス呼び出しに還元することを目的とする。
• 既存の SMT ソルバと統合することで、自動合成の実用的基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• EQSMT を、フォアグラウンド・ソート σ0 と背景ソート σ1,…,σn を備えた多様なソート論理として定義し、各々に背景理論 Ti を装備する。
• 第二階変数を制限する：存在的に量化された関係および関数は、引数および戻り値の型がフォアグラウンド・ソート σ0 のみを含むように制限する。
• 背景理論の宇宙が互いに素で、フォアグラウンド・ソートを介してのみ通信するように保証し、決定可能性を維持する。
• 論理的還元およびソートベースの制約を用いて、EQSMT 公式を個々の背景理論 T1,…,Tn における等価な ∃∗∀∗ 一階公式に変換する。
• EQSMT の充足可能性を、各背景理論における ∃∗∀∗ 公式の充足可能性に還元し、既存の SMT ソルバの使用を可能にする。
• 変換された公式の充足可能性を確認するために、背景理論ソルバへのブラックボックス呼び出しを用い、モジュラリティと効率性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形計算法のような背景理論と組み合わせられる、プログラム合成に適した決定可能な第二階論理の部分論理を設計できるか？
• RQ2 関係および関数の豊富な第二階量化を許容しつつも、∃∗∀∗ 量化子プレフィックスを備えた第二階論理の決定可能性を保証することは可能か？
• RQ3 決定可能性を損なわずに、フォアグラウンド・ソートを介して、互いに素な背景理論間の通信をどのように媒介できるか？
• RQ4 EQSMT 公式の充足可能性を、決定可能な ∃∗∀∗ 部分論理を備えた個々の背景理論における充足可能性クエリに還元できるか？
• RQ5 EQSMT を用いて、未解釈関数と算術制約を含む合成問題をどれほど効果的にモデル化・解決できるか？

主な発見

• EQSMT は、一階変数、関係的変数、関数的変数に対する ∃∗∀∗ 量化子プレフィックスを備えた第二階論理の決定可能な部分論理である。
• Presburger 算術、実閉体、線形実数計算法などの背景理論がサポートされ、それらの ∃∗∀∗ 部分論理が決定可能である限り有効である。
• EQSMT 公式の充足可能性は、個々の背景理論における有限回の充足可能性クエリに還元され、既存の SMT ソルバの使用を可能にする。
• 意思決定手順は、背景理論ソルバへのブラックボックス呼び出しに依存しており、モジュラリティと実用性を確保し、現在の SMT 技術との統合に適している。
• 第二階変数の型を制限し、背景理論とフォアグラウンド・ソート間の宇宙を互いに素に保つことで、不決定性を回避する。
• 未解釈関数と算術を含む合成問題をサポートするが、決定可能な第二階論理拡張の代替手段を提供する。