[論文レビュー] A Decidable Fragment of Strategy Logic

Fabio Mogavero, Aniello Murano+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、戦略量化毎に1つの時系列的目標に制限された、戦略論理の決定可能である部分論理であるOne-Goal Strategy Logic (Sl[1g])を導入する。Sl[1g]が有界木モデル性質を備え、その充足可能性問題が2 ExpTimeで決定可能であることを証明しており、これはAtl∗と同一の複雑さである一方で、それらを包含する。

ABSTRACT

Strategy Logic (SL, for short) has been recently introduced by Mogavero, Murano, and Vardi as a useful formalism for reasoning explicitly about strategies, as first-order objects, in multi-agent concurrent games. This logic turns to be very powerful, subsuming all major previously studied modal logics for strategic reasoning, including ATL, ATL*, and the like. Unfortunately, due to its expressiveness, SL has a non-elementarily decidable model-checking problem and a highly undecidable satisfiability problem, specifically, $Σ_{1}^{1}$-Hard. In order to obtain a decidable sublogic, we introduce and study here One-Goal Strategy Logic (SL[1G], for short). This logic is a syntactic fragment of SL, strictly subsuming ATL*, which encompasses formulas in prenex normal form having a single temporal goal at a time, for every strategy quantification of agents. SL[1G] is known to have an elementarily decidable model-checking problem. Here we prove that, unlike SL, it has the bounded tree-model property and its satisfiability problem is decidable in 2ExpTime, thus not harder than the one for ATL*.

研究の動機と目的

• 完全な戦略論理(Sl)における充足可能性問題の高レベルの非決定性（Σ₁¹-hard）に対処すること。
• Atl∗ や CHP-SL といった既存の論理の制限を克服し、並列ゲームにおける戦略を明示的かつ一階論理的に取り扱えるようにすること。
• 表現力を保ちつつ決定可能性を保証するように、Slの文法的断片を構築すること、特に充足可能性の観点から。
• Sl[1g]が有界木モデル性質を備えていることを確立すること。これは、決定可能性を保証するための重要なモデル理論的特徴である。
• 充足可能性に対して、複雑さが最適な決定手続きを提供すること。Atl∗と同一の2 ExpTimeの複雑さを達成すること。

提案手法

• 各戦略量化が1つの時系列的目標論理式に先行するように、Sl[1g]を文法的断片として定義する。
• 各戦略量化子に対して正確に1つの目標を有するように、論理式を前件標準形に再構成し、各戦略束縛に対して正確に1つの時系列部分論理式を保証する。
• Upt（ユニバーサル木オートマトン）とUct（ユニバーサルco-Büchi木オートマトン）の構成を用いて、木オートマトンに基づく決定手続きを構築する。
• 交換的パリティ木オートマトンの非決定化を用いて、充足可能性問題を空集合チェック問題に還元する。
• 有界木モデル性質を活用して、モデル検査および充足可能性問題が有限状態の推論に還元可能であることを保証する。
• 構築されたオートマトンのサイズが論理式のサイズの指数関数的であることを証明し、充足可能性の2 ExpTime上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Atl∗を包含し、かつ素朴な複雑さを保つ、戦略論理の決定可能な断片を同定できるか？
• RQ2 戦略論理の制限付き断片に対して、有界木モデル性質が成立するか？
• RQ3 戦略を一階的対象として取り扱う戦略論理の断片における、充足可能性問題の正確な複雑さは何か？
• RQ4 このような断片の充足可能性問題は、Atl∗と同一の2 ExpTimeで決定可能か？
• RQ5 戦略論理の論理式にどのような文法的制限を課すと、戦略的推論の表現力を損なわずに決定可能性が保証されるか？

主な発見

• Sl[1g]は、Atl∗を包含し、充足可能性問題が2 ExpTimeで決定可能な戦略論理の決定可能な断片である。
• この論理は有界木モデル性質を備えており、これは素朴な決定可能性を保証する上で不可欠な特徴である。
• Sl[1g]の充足可能性問題は2 ExpTime完全であり、Atl∗と同一の複雑さを有する。
• Sl[1g]の論理式に対してユニバーサル木オートマトンを構築すると、状態空間のサイズが2^O(|φ|)になるため、2 ExpTimeの上界が得られる。
• 得られたオートマトンの空集合問題は、状態数nとインデックスhに対してO(n^h)の時間で解けるため、2 ExpTimeの複雑さが得られる。
• Sl[1g]における充足可能性の下界は、Ctl∗から引き継がれるため、複雑さが最適であることが確認される。