[論文レビュー] A Decidable Intuitionistic Temporal Logic

Joseph Boudou, Martín Diéguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$≤$-単調な遷移関数$S$を備えた拡大ドメインモデルに基づく、決定可能である直感的時相論理$τ$ITL$^e$を導入する。著者らは、$τ$ITL$^e$が強い有限モデル性質を有することを証明し、モデルサイズの計算可能な上限を用いることで、その充足可能性および妥当性問題の決定可能性を示す。

ABSTRACT

We introduce the logic $\sf ITL^e$, an intuitionistic temporal logic based on structures $(W,\preccurlyeq,S)$, where $\preccurlyeq$ is used to interpret intuitionistic implication and $S$ is a $\preccurlyeq$-monotone function used to interpret temporal modalities. Our main result is that the satisfiability and validity problems for $\sf ITL^e$ are decidable. We prove this by showing that the logic enjoys the strong finite model property. In contrast, we also consider a `persistent' version of the logic, $\sf ITL^p$, whose models are similar to Cartesian products. We prove that, unlike $\sf ITL^e$, $\sf ITL^p$ does not have the finite model property.

研究の動機と目的

• 構成的設定における時相的推論を可能にする直感的時相論理の形式的枠組みを構築すること。
• 特に恒続的モデルに基づく既存の直感的時相論理において欠落している決定可能性を解消すること。
• 数学的に自然かつ技術的に堅牢な直感的時相論理の意味論を確立すること。
• $τ$ITL$^e$が強い有限モデル性質を有することを証明し、その充足可能性および妥当性問題の決定可能性を可能にすること。
• $τ$ITL$^e$と、有限モデル性質を有しない恒続的バージョン$τ$ITL$^p$との対比を示すこと。

提案手法

• $(W, \preccurlyeq, S, V)$という構造を用いて、$\preccurlyeq$が直感的含意を捉え、$S$が$\preccurlyeq$-単調な遷移関数であるKripke的意味論を定義する。
• 正規化、到達可能性の追跡、有限モデルの抽出の3段階プロセスを通じて、階層的モデル$\mathcal{M}^{\rm e}$を構築する。
• 公式$\varphi$のサイズに依存する計算可能関数$B(|\varphi|)$を用いて、$\mathcal{M}^{\rm e}$から有限モデル$\mathcal{M}^{\rm fin}$を導出する。
• 任意の公式$\varphi$が、元のモデルで充足可能（または充足不能）であるための必要十分条件として、$\mathcal{M}^{\rm fin}$で充足可能（または充足不能）であることを証明する。
• モデルサイズ$|W^{\rm fin}| \leq B(|\varphi|)$を示すことにより、強い有限モデル性質を確立する。ここで$B$は公式$\varphi$のサイズに依存する計算可能関数である。
• 帰納法と埋め込みの議論を用いて、モデル変換の過程で到達可能性の性質を保ち、有限モデルにおける真理の保存性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成的推論と時相的モダリティの両方を支持する自然な直感的時相論理を定義できるか？
• RQ2 論理$τ$ITL$^e$は強い有限モデル性質を有するか？その場合、充足可能性および妥当性問題の決定可能性が保証されるか？
• RQ3 拡大ドメイン（$\mathcal{M}^{\rm e}$）と恒続的モデル（$\mathcal{M}^{\rm p}$）の選択は、モデル理論的性質においてどのように異なるか？
• RQ4 有限モデル性質を欠くにもかかわらず、恒続的バージョン$\sf ITL^p$は決定可能か？
• RQ5 モデル構築プロセスを精緻化することで、より効率的な意思決定手続きが得られるか？

主な発見

• 論理$\sf ITL^e$は決定可能であり、強い有限モデル性質のおかげで充足可能性および妥当性問題が決定可能である。
• 強い有限モデル性質が成立する：任意の公式$\varphi$が充足可能（または充足不能）であるならば、そのサイズが$B(|\varphi|)$で有界なモデルでもそうである。
• 境界$B(|\varphi|)$は明示的に構成され、$Q^{2^{s+1}}_{s+3}(2E^{2^s}_{s+1} + sQ^{2^s}_{s+1}E^{2^{s+1}}_{s+3})$として与えられる。ここで$s = |\Sigma|$は記号のサイズである。
• 恒続的バージョン$\sf ITL^p$は有限モデル性質を有しないことから、その意味論には根本的な技術的制限があることが示された。
• モデル構築プロセスは、$\mathcal{M}^e$から$\mathcal{M}^{\rm fin}$への変換において、到達可能性論理式の真理を保証する。
• 意思決定手続きは非要素的であるが、著者らはさらなるモデル最適化によってより効率的な境界が得られる可能性を示唆している。