[論文レビュー] A decomposition formula for the Kazhdan-Lusztig basis of affine Hecke algebras of rank 2

Xun Xie|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、不均等パラメータをもつランク2のアフィンヘッケ代数（型$\tilde{B}_2$および$\tilde{G}_2$）におけるカジダン＝ルスティグ基底の分解公式を確立し、基底要素$C_{bdu}$が下位の二側セルを法として$E_b C_d F_u$に分解されることを示している。ここで$E_b$と$F_u$は互いに独立である。この結果により、ルスティグの予想P1–P15はP8'の検証と$\mathbf{a}$-関数の明示的計算に帰着される。

ABSTRACT

In this paper, we prove a decomposition formula for the Kazhdan-Lusztig basis of affine Hecke algebras of rank 2 with positive weight function. Then we discuss some applications of this kind of decomposition to Lusztig's conjectures P1-P15.

研究の動機と目的

• ランク2のアフィンヘッケ代数、特に型$\tilde{B}_2$および$\tilde{G}_2$におけるカジダン＝ルスティグ基底の分解公式を開発すること。
• 不均等パラメータをもつランク2のアフィンワイル群におけるルスティグの予想P1–P15の妥当性を調査すること。
• P1–P15の検証をP8'の検証とルスティグの$\mathbf{a}$-関数の明示的計算に簡略化すること。
• 先行研究における最小の二側セルに用いられた手法を、ランク2のアフィンワイル群の他の二側セルへ一般化すること。
• 不均等パラメータをもつアフィンヘッケ代数におけるセルおよびその性質を研究するための構造的枠組みを提供すること。

提案手法

• 分解公式の導入：$C_{bdu} \equiv E_b C_d F_u \mod \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ で、$E_b$と$F_u$は$C_{bd} \equiv E_b C_d \mod \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ および $C_{du} \equiv C_d F_u \mod \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ により定義される。
• ギュイヨーの二側セルの分割：$\mathbf{c} = \bigsqcup_{d \in D} B_d d U_d$ で、$d$は有限パラボリック部分群内の対合である。
• 分解を用いて、$\mathcal{H}$-両側加群$\mathcal{H}_{\leq \mathbf{c}} / \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ の研究を$D$の各$d$に対する$C_d$の生成に還元する。
• ヘッケ代数の$T$-基底における明示的計算を用いて、異なるパラメータ領域において分解公式の正当性を検証する。
• $E_b$と$F_u$の独立性に依拠して、予想に対する帰納的議論を可能にする。
• 必要な仮定（P4、弱い形のP8'）および$\mathbf{a}(d) = \deg h_{d,d,d}$の恒等式がランク2の場合に成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不均等パラメータをもつランク2のアフィンヘッケ代数におけるカジダン＝ルスティグ基底の分解公式を確立できるか？
• RQ2 この分解は、ルスティグの予想P1–P15の検証をどの程度簡略化するか？
• RQ3 二側セルのインデックス集合$D$のすべての$d$に対して、恒等式$\mathbf{a}(d) = \deg h_{d,d,d}$が成り立つか？
• RQ4 この分解公式はランク2のアフィンワイル群のすべての二側セルに成立するか？また、なぜ高ランクでは成立しないのか？
• RQ5 ランク2の場合に、予想P1–P15をP8'の検証と$\mathbf{a}$-関数の明示的計算に簡略化できるか？

主な発見

• 型$\tilde{B}_2$および$\tilde{G}_2$のアフィンヘッケ代数において、すべての$b \in B_d$、$u \in U_d$、$d \in D$に対して、分解公式$C_{bdu} \equiv E_b C_d F_u \mod \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ が成立する。
• $\mathcal{H}$-両側加群$\mathcal{H}_{\leq \mathbf{c}} / \mathcal{H}_{<\mathbf{c}}$ は、$D$の各$d$に対する$C_d$により生成され、$E_b$と$F_u$は独立である。
• $\tilde{B}_2$および$\tilde{G}_2$における予想P1–P15は、P8'の検証と$\mathbf{a}$-関数の明示的計算に帰着される。
• P4および弱い形のP8'の仮定はランク2の場合に満たされており、この帰着が可能である。
• 分解公式はランク2のアフィンワイル群のすべての二側セルに成立するが、一般に高ランク群（例：$B_3$）では成立しない。
• $T$-基底における明示的計算により、$a > 2b$、$a < 2b$、$a = 2b$のすべてのパラメータ領域で分解が確認された。