[論文レビュー] A degenerating PDE system for phase transitions and damage

Elisabetta Rocca, Riccarda Rossi|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、熱 visco 弾性相転移および損傷をモデル化する退化する PDE システムに対する弱解のグローバル存在を確立する。変位方程式には、純相（χ = 0 および χ = 1）で退化する χ に依存する楕円型作用素が含まれる。正則化された近似系（部分的損傷のみ）を導入し、変分的技法と弱下半連続性を用いて、不可逆性およびゼロ密度結合（ρ = 0）の下で、退化系の弱解への収束を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we analyze a PDE system arising in the modeling of phase transition and damage phenomena in thermoviscoelastic materials. The resulting evolution equations in the unknowns θ(absolute temperature), u (displacement), and χ(phase/damage parameter) are strongly nonlinearly coupled. Moreover, the momentum equation for u contains χ-dependent elliptic operators, which degenerate at the pure phases (corresponding to the values χ=0 and χ=1), making the whole system degenerate. That is why, we have to resort to a suitable weak solvability notion for the analysis of the problem: it consists of the weak formulations of the heat and momentum equation, and, for the phase/damage parameter χ, of a generalization of the principle of virtual powers, partially mutuated from the theory of rate-independent damage processes. To prove an existence result for this weak formulation, an approximating problem is introduced, where the elliptic degeneracy of the displacement equation is ruled out: in the framework of damage models, this corresponds to allowing for partial damage only. For such an approximate system, global-in-time existence and well-posedness results are established in various cases. Then, the passage to the limit to the degenerate system is performed via suitable variational techniques.

研究の動機と目的

• 熱 visco 弾性相転移および損傷をモデル化する強力に結合された PDE システムの解析。動力学方程式には、相／損傷パラメータ χ に依存する退化する楕円型作用素が含まれる。
• 純相（χ = 0 および χ = 1）で発生する変位方程式の退化という数学的困難に取り組む。これは古典的解法が不可能であることを意味する。
• 不可逆過程に適した、損傷／相パラメータ χ のための一般化された仮想仕事原理と変分的技法に基づく弱解法の枠組みを構築する。
• 正則化された非退化近似系の列における極限に移行することで、退化系の時間全域における弱解の存在を証明する。
• 全エネルギー不等式を用いて、解の連続的依存性およびエネルギー安定性を確立する。

提案手法

• 変位方程式における楕円型作用素が非退化するように、χ に小さなパラメータ δ_k > 0 を加える正則化近似系を導入し、χ + δ_k > 0 が保証されるようにする。
• 温度 ϑ および変位 u の弱形式を用い、相／損傷パラメータ χ については、不可逆性を部分微分作用素 μ ∂I_{(-∞,0]}(χ_t) を含む一般化仮想仕事原理を用いる。
• Sobolev 空間におけるエネルギー推定とコンパクト性の議論を用いて、正則化系のグローバル存在および適切に定義された解の存在を確立する。
• コンパクト埋め込みおよび下半連続性を用いて、χ_δ_k が L^2(0,T;L^2(Ω)) で強い収束すること、∂_t u_δ_k および η_δ_k = ε(∂_t u_δ_k) が弱-* 収束することを証明する。
• ドミネート収束定理および全エネルギー汎関数の弱下半連続性を用いて、δ_k → 0 の極限に移行する。
• 各 x に対して t ↦ χ_δ_k(t,x) が非増加であることに着目し、ヘリーの定理を用いて全 variation 界の下でコンパクト性と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純相（χ = 0 および χ = 1）で変位方程式の楕円型作用素が退化する PDE システムに対して、熱 visco 弾性相転移および損傷をモデル化する場合に、グローバル弱解を確立できるか？
• RQ2 システムが退化的かつ不可逆的である場合に、相／損傷パラメータ χ のための適切な弱解法の定式化はどのように行えるか？
• RQ3 物理的に妥当な制約下で、適切に定義された解を得られ、退化系に収束する正則化近似スキームは何か？
• RQ4 極限において全エネルギー不等式が保存され、解の安定性および連続的依存性が保証されるか？
• RQ5 正則化系の極限が、特に ρ = 0 の場合に、元の退化問題の解を与えるのはどのような条件下か？

主な発見

• 本稿では、一般化仮想仕事原理の意味で、任意の T > 0 に対して退化 PDE システムのグローバル弱解の存在が証明される。
• χ + δ_k > 0 を満たす正則化系が構築され、非局所作用素を含むさまざまな状況において、そのグローバル存在および適切に定義された解の存在が確立される。
• コンパクト性および埋め込み定理を用いて、χ_δ_k が L^2(0,T;L^2(Ω)) で強い収束し、∂_t u_δ_k および η_δ_k が弱-* 収束することが達成される。
• 極限において全エネルギー不等式が保存され、すべての t ∈ [0,T] に対して 𝒫_δ_k(t) → 𝒫(t) が成り立つ。これによりエネルギー安定性が保証される。
• 極限解は熱方程式および運動量方程式の弱形式を満たし、χ についての一般化仮想仕事原理を満たすため、物理的モデルと整合性を持つことが確認される。
• 証明は、χ の不可逆性および ρ = 0 の仮定に強く依存しており、これにより div(ut) が一様有界となり、結合項における極限への移行が可能になる。