[論文レビュー] A degeneration of stable morphisms and relative stable morphisms

Jun Li|ArXiv.org|Sep 9, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異な標高スキームおよび相対的対に対して展開された退化のスタックを導入することにより、ドナルドソン＝フローリング理論の代数幾何的類似物を構築する。安定写像および相対的安定写像のモジュライ空間が分離的かつ固有なデリーニュ＝マクナリー・スタックであることを証明し、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量の定義および正則多様体の不変量について、正則交差を持つ対の不変量を用いた退化公式の確立の基盤を築く。

ABSTRACT

The introduction is modified in the revised version. Also, many typos and errors were corrected. Let $W o C$ be degeneration of smooth varieties so that the special fiber has normal crossing singularity. In this paper, we first constructed the stack of expanded degenerations of $W$. We then constructed the moduli space of stable morphisms to this stack, which provides a degeneration of the moduli spaces of stable morphisms associated to $W/C$. Using similar technique, for a pair of smooth variety and a smooth divisor $(Z,D)$, we constructed the stack of expanded relative pairs and then the moduli spaces of relative stable morphisms to $(Z,D)$. In the subsequent paper we will construct the relative Gromov-Witten invariants and prove a degeneration formula of Gromov-Witten invariants.

研究の動機と目的

• モジュライ空間の退化におけるドナルドソン＝フローリング理論の代数幾何的類似物を構築すること。
• 正則多様体の族に正則交差特異点を持つような、スキームの族の展開された退化のスタックを構築すること。
• これらの展開された退化スタックへの安定写像のモジュライ空間を定義し、その分離性および固有性を証明すること。
• 相対的グロモフ＝ウィッテン不変量を構築し、正則多様体の不変量の退化公式を証明するための基盤を築くこと。
• 滑らかで、滑らかな除集合 D を持つ滑らかな多様体 Z における相対的対 (Z,D) の枠組みを拡張すること。

提案手法

• 中心ファイバーが正則交差特異点を持つ正則多様体の退化 W/C に対して、展開された退化のスタックを構築する。
• 展開された退化スタック W への安定写像のモジュライ関手を定義し、それが分離的かつ固有なデリーニュ＝マクナリー・スタックであることを証明する。
• 滑らかな多様体 Z と滑らかな除集合 D を持つ対 (Z,D) に対して、展開された相対的対のスタックを構築する。
• 展開された相対的対スタックへの相対的安定写像のモジュライ関手を定義し、それが分離的かつ固有なデリーニュ＝マクナリー・スタックであることを証明する。
• 展開された退化の幾何を用いて、退化したファイバー上の安定写像と成分上の相対的写像との間の関係を、接合データおよび自己同型群の解析を通じて特定する。
• 群 Eq(η) がマークされた点および成分の自己同型群に作用することにより、モジュライ空間間の写像の次数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則交差特異点を持つ退化した標高スキームへの安定写像の分離的かつ固有なモジュライ空間は、どのように構築できるか？
• RQ2 グロモフ＝ウィッテン不変量の退化の文脈において、ドナルドソン＝フローリング理論の代数幾何的類似物は何か？
• RQ3 滑らかな除集合を持つ対 (Y_i, D_i) に対して、相対的安定写像はどのように定義され、そのモジュライ空間はどのように構築できるか？
• RQ4 退化における正則ファイバーのグロモフ＝ウィッテン不変量と成分の相対的不変量との間の正確な関係は何か？
• RQ5 展開された退化の幾何的構成から、グロモフ＝ウィッテン不変量の退化公式を導出できるか？

主な発見

• W/C の展開された退化スタックへの安定写像のモジュライ関手は、C 上の分離的かつ固有なデリーニュ＝マクナリー・スタックである。
• 対 (Z,D) の展開された相対的対スタックへの相対的安定写像のモジュライ関手は、分離的かつ固有なデリーニュ＝マクナリー・スタックである。
• モジュライ空間間の写像 Φη は、純粋な次数 |Eq(η)| の有限かつエタール写像である。ここで Eq(η) は分解型 η を保存する置換の群である。
• 写像 Φη の次数は、群 Eq(η) のサイズおよび成分の自己同型群に依存し、公式 deg(Φη) = |Eq(η)| で与えられる。
• この構成は、グロモフ＝ウィッテン不変量の退化公式の幾何的枠組みを提供する。続く論文 [Li] では、完全な障害理論と仮想サイクルを用いて GW(W_t) = GW(Y₁,D₁) ∗ GW(Y₂,D₂) を証明することが期待される。
• この方法は、層論的退化における非局所自由性の問題を回避する。曲線および曲面の結果を一般化する。