[論文レビュー] A Degree 4 Sum-Of-Squares Lower Bound for the Clique Number of the Paley Graph

Dmitriy Kunisky, Xifan Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、p 頂点のペイリー・グラフのクリーク数に対して、次数 4 の和の平方（SOS）下界 Ω(p^{1/3}) を確立し、SOS緩和がこの閾値未満のクリーク数を証明できないことを示している。結果は、フェイゲ＝クルーガーの擬似モーメント構成の確率的でない版を用いて得られ、この方法に対して下界がタイトであることが示され、SOS の次数 4 が指数を 1/2 から 1/3 に改善する可能性があるものの、√p の障壁を打ち破ることはできないと示唆している。

ABSTRACT

We prove that the degree 4 sum-of-squares (SOS) relaxation of the clique number of the Paley graph on a prime number $p$ of vertices has value at least $Ω(p^{1/3})$. This is in contrast to the widely believed conjecture that the actual clique number of the Paley graph is $O(\mathrm{polylog}(p))$. Our result may be viewed as a derandomization of that of Deshpande and Montanari (2015), who showed the same lower bound (up to $\mathrm{polylog}(p)$ terms) with high probability for the Erdős-Rényi random graph on $p$ vertices, whose clique number is with high probability $O(\log(p))$. We also show that our lower bound is optimal for the Feige-Krauthgamer construction of pseudomoments, derandomizing an argument of Kelner. Finally, we present numerical experiments indicating that the value of the degree 4 SOS relaxation of the Paley graph may scale as $O(p^{1/2 - ε})$ for some $ε> 0$, and give a matrix norm calculation indicating that the pseudocalibration proof strategy for SOS lower bounds for random graphs will not immediately transfer to the Paley graph. Taken together, our results suggest that degree 4 SOS may break the "$\sqrt{p}$ barrier" for upper bounds on the clique number of Paley graphs, but prove that it can at best improve the exponent from $1/2$ to $1/3$.

研究の動機と目的

• 和の平方（SOS）階層が、現在知られているものよりも強いクリーク数の上界をペイリー・グラフに対して提供できるかどうかを調査すること。
• エドーシュ＝レニー確率的グラフに対して以前に確立された次数 4 SOS 下界を、決定的であるペイリー・グラフに適用するために、それを確率的でない形に変換すること。
• フェイゲ＝クルーガーの擬似モーメント構成が、ペイリー・グラフにおける次数 4 SOS に対して最適な下界をもたらすかどうかを特定すること。
• 数値的証拠と行列ノルムの境界が、次数 4 SOS がクリーク数の上界において √p 障壁を打ち破れるかどうかを評価すること。

提案手法

• フェイゲとクラウスの構成にインspiredされた擬似モーメント構成を用いて、ペイリー・グラフの次数 4 SOS 下界を導出する。
• SOS の制約を満たす有効な擬似モーメント行列を構築し、素数 p に対してその目的関数値が Ω(p^{1/3}) であることを証明する。
• ペイリー・グラフが p ≡ 1 mod 4 を満たす有限体 F_p 上で定義され、その平方剰余構造を活用して対称性と正則性を保証すること。
• フェイゲ＝クルーガーの枠組みをペイリー・グラフに適用し、得られる下界がこの構成に対して最適であることを証明する。
• p ≤ 250 の SDP緩和について数値実験を行い、SOS4(G_p) と FK 擬似モーメント値の両方にべき則モデルをフィットさせる。
• シーデル隣接行列の行列ノルムを分析し、AMP [AMP16] の境界がペイリー・グラフでは成立しないことを示し、確率的グラフとは構造的差異があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 4 SOS 缽和が、ペイリー・グラフのクリーク数に対して √p 障壁を下回る下界を達成できるか？
• RQ2 フェイゲ＝クルーガーの擬似モーメント構成は、ペイリー・グラフにおける次数 4 SOS に対して最適か？
• RQ3 数値実験から、SOS4(G_p) がある ε > 0 に対して O(p^{1/2−ε}) のスケーリングを示唆するか？
• RQ4 確率的グラフでは成り立つ [AMP16] の行列ノルム境界が、なぜペイリー・グラフでは成立しないのか？

主な発見

• p 頂点のペイリー・グラフの次数 4 SOS 缶和には、Ω(p^{1/3}) の下界がある。これは、SOS 法がこの閾値未満のクリーク数を証明できないことを証明している。
• 使用された擬似モーメント構成はフェイゲ＝クルーガー枠組みに対して最適であり、ペイリー・グラフに対して FK4(G_p) = O(p^{1/3}) が成り立つことが確認された。
• 数値実験から、SOS4(G_p) は p^{0.395} のスケーリングを示唆しており、√p の閾値未満である。これは、SOS4(G_p) = O(p^{1/2−ε}) が一部の ε > 0 に対して成り立つという仮説を支持する。
• ペイリー・グラフのシーデル隣接行列の行列ノルムは p^2 の速度で増加し、エドーシュ＝レニー・グラフでは成り立つ O(p^{3/2}) の境界を破る。これは、SOS 技法を確率的グラフから直接転用できない構造的差異を示している。
• 確率的グラフの SOS 下界に用いられる擬似キャリブレーション法は、隣接行列にスペクトルのフラクチュエーションがないため、ペイリー・グラフに即座には適用できない。
• 結果から、次数 4 SOS はペイリー・グラフのクリーク数の上界における指数を 1/2 から 1/3 に改善できる可能性があるが、√p 障壁を打ち破ることはできないと示唆されている。