[論文レビュー] A degree sequence Hajnal--Szemerédi theorem

Andrew Treglown|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ハジュナル＝ツェメレーディーの定理の漸近的次数列版を証明し、特定の下界を満たす次数列を持つグラフが完全な $K_r$-パッキングを含むことを示している。この結果は、正則化法と吸収法を用いて、任意のグラフ $H$ に対してアロン＝ユースターの定理を拡張し、完全な $H$-パッキングおよび有向グラフにおける完全なトランスティティブなトーナメントパッキングについて、漸近的に最適な結果を得ている。

ABSTRACT

We say that a graph $G$ has a perfect $H$-packing if there exists a set of vertex-disjoint copies of $H$ which cover all the vertices in $G$. The seminal Hajnal--Szemerédi theorem characterises the minimum degree that ensures a graph $G$ contains a perfect $K_r$-packing. Balogh, Kostochka and Treglown proposed a degree sequence version of the Hajnal--Szemerédi theorem which, if true, gives a strengthening of the Hajnal--Szemerédi theorem. In this paper we prove this conjecture asymptotically. Another fundamental result in the area is the Alon--Yuster theorem which gives a minimum degree condition that ensures a graph contains a perfect $H$-packing for an \emph{arbitrary} graph $H$. We give a wide-reaching generalisation of this result by answering another conjecture of Balogh, Kostochka and Treglown on the degree sequence of a graph that forces a perfect $H$-packing. We also prove a degree sequence result concerning perfect transitive tournament packings in directed graphs. The proofs blend together the regularity and absorbing methods.

研究の動機と目的

• 完全な $K_r$-パッキングのための最小次数条件を、次数列条件へと強化するハジュナル＝ツェメレーディーの定理の漸近的次数列版を証明すること。
• バロッグ、コストォッカ、トレグロウンが提起した、任意のグラフ $H$ に対して完全な $H$-パッキングを強制する次数列条件に関する予想を解決すること。
• アロン＝ユースターの定理を、完全な $H$-パッキングを保証する次数列条件を確立することによって一般化すること。
• 有向グラフにおいて完全なトランスティティブなトーナメントパッキングを強制する次数列結果を証明することで、理論を有向グラフの設定へと拡張すること。

提案手法

• 正則化法を用いてグラフを $\varepsilon$-正則なペアに分割し、正則化補題を適用して辺の分布を制御する。
• 吸収法を用いて、適切なサイズの小さな残差頂点集合を吸収できる小さな吸収集合を構成する。
• 吹き抜き補題型の議論を用いて、縮小グラフおよびその部分グラフに $K_r$-パスおよび $K_r^h$-パスを埋め込む。
• $i < n/r$ のとき $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$ という次数列条件を適用し、初期頂点における十分な最小次数を保証する。
• 正則化法を用いて、$K_r$-パスを制御された端点を持つように埋め込めるように、強力に拡張される縮小グラフ $R$ を構築する。
• 補助グラフと確率的数え上げを用いて、多くの $K_r^h$-パスの存在を示し、吸収構成の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハジュナル＝ツェメレーディーの定理は、最小次数条件から、一部の頂点の次数が $(r-1)n/r$ 未満であってもよい次数列条件へと強化可能か？
• RQ2 $i < n/r$ に対して $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$ かつ $d_{n/r+1} \geq (r-1)n/r$ という次数列条件は、完全な $K_r$-パッキングを保証するか？
• RQ3 アロン＝ユースターの完全な $H$-パッキングのための最小次数条件は、任意のグラフ $H$ に対して次数列条件へと一般化可能か？
• RQ4 有向グラフにおいて完全なトランスティティブなトーナメントパッキングを強制する次数列条件は存在するか？
• RQ5 吸収法と正則化法を組み合わせることで、次数列制約の下での $H$-パッキングのための漸近的結果を証明可能か？

主な発見

• 任意の $\gamma > 0$ および $r \in \mathbb{N}$ に対して、$n_0$ が存在し、$n \geq n_0$ 個の頂点を持つグラフで $r \mid n$ かつすべての $i < n/r$ に対して $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$ を満たすグラフは完全な $K_r$-パッキングを含むことを本稿は証明している。
• 次数列条件は、バロッグ、コストォッカ、トレグロウン（2014）の構成により、漸近的に最良であることが示されている。
• 本稿は、バロッグ、コストォッカ、トレグロウンの予想を解決し、任意のグラフ $H$ に対して完全な $H$-パッキングを強制する次数列条件を一般化し、アロン＝ユースターの定理を拡張している。
• 有向グラフにおいて完全なトランスティティブなトーナメントパッキングのための次数列結果を確立しており、理論を有向設定へと拡張している。
• $x,y$ を除く $s$-集合 $A \subseteq V(G) \setminus \{x,y\}$ で、$A \cup \{x,y\}$ が長さ $s'$ の $K_r^h$-パスを張るものの数は $\gamma' n^s$ 以上であり、$\gamma' \ll \gamma$ であるため、吸収に十分な柔軟性が保証される。
• $|W| \in h\mathbb{N}$ かつ $|W| \leq \nu^3 n$ を満たす任意の $W \subseteq V(G) \setminus M$ に対して、$\nu n$-サイズの $H$-吸収集合が存在することが保証され、証明の最終段階での吸収ステップが可能になる。