[論文レビュー] A degree theory approach for the shooting method

Congming Li|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、楕円型系に対するシューティング法に、新たな次数理論的手法を導入し、『ターゲット写像』を用いて大域的正解の存在を確立する。位相的次数理論を用いて、ターゲット写像が全射であることを示し、Lane-Emden予想を臨界および超臨界の場合に解決する。具体的には、$rac{1}{p+1} + rac{1}{q+1} \ leq rac{n-2k}{n}$ を満たすとき、解が存在することを示す。

ABSTRACT

The classical shooting-method is about finding a suitable initial shooting positions to shoot to the desired target. The new approach formulated here, with the introduction and the analysis of the `target map' as its core, naturally connects the classical shooting-method to the simple and beautiful topological degree theory. We apply the new approach, to a motivating example, to derive the existence of global positive solutions of the Hardy-Littlewood-Sobolev (also known as Lane-Emden) type system: [{{aligned} &(- riangle)^ku(x) = v^p(x), \,\, u(x)>0 \quad ext{in}\quad\mathbb{R}^n, & (- riangle)^k v(x) =u^q(x), \,\, v(x)>0 \quad ext{in}\quad\mathbb{R}^n, p, q>0, {aligned}.] in the critical and supercritical cases $\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}\leq\frac{n-2k}{n}$. Here we derive the existence with the computation of the topological degree of a suitably defined target map. This and some other results presented in this article completely solved several long-standing open problems about the existence or non-existence of positive entire solutions.

研究の動機と目的

• 楕円型系に対する古典的シューティング法と次数理論を結びつける位相的枠組みを確立すること。
• Hardy-Littlewood-SobolevおよびLane-Emden系における大域的正解の存在および非存在に関する長年の未解決問題を解決すること。
• 非存在性の結果を用いて、臨界および超臨界領域における径対称正解の存在を証明すること。
• 次数理論により導かれるターゲット写像の全射性が、大域的解の存在を保証すること。

提案手法

• 初期条件から径対称解の漸近的挙動への写像（ターゲット写像）を定義し、定義域を初期値、値域を可能なターゲットとする。
• ODE理論と非線形関数 $F$ の非退化性仮定を用いて、ターゲット写像の連続性を証明する。
• 位相的次数理論（[14]および[17]より）を適用し、ターゲット写像の次数を計算し、非ゼロであることを示し、全射性を導く。
• ターゲット写像の全射性を用いて、系の大域的正解の存在を導出する。
• 補助変数 $w_i$ を用いて、系 $(- riangle)^k u = v^p$, $(- riangle)^k v = u^q$ を1階のODE系に還元する。
• 球 $B_R$ 上での径対称解の非存在性を用いて、定理1を応用し、大域的解の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円型系に対するシューティング法は、次数理論による位相的定式化が可能であり、大域的解の存在を保証するか？
• RQ2 Hardy-Littlewood-Sobolev型系 $(- riangle)^k u = v^p$, $(- riangle)^k v = u^q$ が大域的正解を有するための条件は何か？
• RQ3 臨界および超臨界の場合 $\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \leq \frac{n-2k}{n}$ において、Lane-Emden予想は完全に解決されているか？
• RQ4 球 $B_R$ 上での解の非存在性を、次数論的シューティング法を用いて大域的解の存在を示すために利用できるか？

主な発見

• 系 $(- riangle)^k u = v^p$, $(- riangle)^k v = u^q$ は、臨界および超臨界の場合に、$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \leq \frac{n-2k}{n}$ かつ $2k < n$ を満たすとき、大域的正の径対称解を有する。
• シューティング法に関連するターゲット写像は連続的であり、非ゼロの位相的次数を持つため、全射である。
• ターゲット写像の全射性により、大域的解の存在が導かれる。これは、$F$ に対してやや弱い仮定のもとで次数理論により確立される。
• スカラー系 $(- riangle)^k u = u^p$ に対しては、有限エネルギー解が存在するための必要十分条件は $p = \frac{n+2k}{n-2k}$ であり、亜臨界の場合には解が存在しない。
• 臨界ケースを除くすべてのケースにおいて、エネルギー $\int_{\mathbb{R}^n} u^{q+1}$ は無限大であり、臨界および超臨界領域では無限エネルギー解が存在することを示す。
• 非退化性条件により、$\beta \in \partial \mathbb{R}_+^L$, $\beta \neq 0$ に対して $F(\beta) \neq 0$ が保証され、これはターゲット写像の連続性および全射性に不可欠である。