[論文レビュー] A Delayed Black and Scholes Formula I

Mercedes Arriojas, Yaozhong Hu+2 more|ArXiv.org|Apr 28, 2006

Stochastic processes and financial applications被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、時間遅れを介して過去の株価を組み込む確率的関数微分方程式（sfde）を用いて株価動態をモデル化することで、ブラック・ショールズモデルの遅れ拡張を提案する。主な貢献は、市場の完全性とアービッジフリーティーを保ちつつ、ヨーロピアン・コール・オプションの明示的閉形式価格決定式を導出したことである。オプション価格は、現在の株価と遅延区間内の株価の履歴経路に依存する。

ABSTRACT

In this article we develop an explicit formula for pricing European options when the underlying stock price follows a non-linear stochastic differential delay equation (sdde). We believe that the proposed model is sufficiently flexible to fit real market data, and is yet simple enough to allow for a closed-form representation of the option price. Furthermore, the model maintains the no-arbitrage property and the completeness of the market. The derivation of the option-pricing formula is based on an equivalent martingale measure.

研究の動機と目的

• 時間遅れを用いて記憶効果を組み込む柔軟かつ解析的に取り扱いやすい株価動態モデルの構築を目的とする。
• 古典的ブラック・ショールズモデルの制限、特に定数ボラティリティの仮定を緩和し、ボラティリティが過去の株価履歴に依存するようにすることを目的とする。
• 市場の完全性とアービッジフリーティーを保ちつつ、遅れモデル下でのヨーロピアン・コール・オプションの明示的閉形式価格決定式を導出することを目的とする。
• 同等のマルティンググール測度と確率的微積分学的手法を用いて、解析的取り扱いの容易さを維持することを目的とする。

提案手法

• 株価 S(t) を、遅延された値 S(t−a) および S(t−b) に依存する漂移項と拡散項を持つ確率的遅延微分方程式（sdde）でモデル化する。
• 初期過程 φ(0) > 0 がほとんど確実に成り立つ限り、解 S(t) のパスワイズ一意性および正値性を確立する。
• ギルサノフの定理を適用し、割引株価が局所マルティンググールとなる同等のマルティンググール測度 Q を構築する。
• 遅延過程のマルコフ構造を活用し、割引された行使利益 (S(T)−K)+ の条件付き期待値としてオプション価格を導出する。
• 同等測度下での株価過程の明示的形を用い、オプション価格を累積正規分布関数 Φ の形で表現する。
• 最終遅延区間において、オプション価格の時間に依存する確率的ブラック・ショールズPDEを導出する。このPDEは、t ≥ T−b のときのみ、V(t) = e^{-r(T−t)}F(t,S(t)) が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶効果を時間遅れで組み込むことで、経験的ボラティリティパターンをよりよく再現するが、解析的取り扱いが可能な株価動態の遅れ付き確率モデルを構築可能か？
• RQ2 漂移項および拡散項に過去の株価履歴を組み込むと、古典的ブラック・ショールズモデルと比較してオプション価格決定式にどのような影響を与えるか？
• RQ3 市場の完全性とアービッジフリーティーを維持する遅れ付き株価モデル下でのヨーロピアン・コール・オプション価格の明示的形は何か？
• RQ4 オプション価格は、特に最終遅延区間において、株価の履歴経路にどのように依存するか？
• RQ5 オプション価格決定式は、確率的係数を有する時間に依存するPDEとして表現可能か？この表現はどのような条件下で有効か？

主な発見

• 初期値 φ(0) > 0 がほとんど確実に成り立つ限り、任意の t ≥ 0 に対して、提案された遅れモデルはパスワイズに一意かつ正の解 S(t) を有する。
• t ∈ [T−l, T] のオプション価格 V(t) は、閉形式の公式で与えられる：V(t) = S(t)Φ(β₊) − Ke^{−r(T−t)}Φ(β₋)、ここで β₊ および β₋ は [t,T] 上での g²(S(u−b)) の積分に依存する。
• g(x) ≡ 1 のとき、この公式は正確に古典的ブラック・ショールズ公式に還元され、標準モデルとの一貫性が確認される。
• オプション価格は、現在の株価 S(t) のみならず、t ≥ T−l のとき、{S(v) : v ∈ [t−b, T−b]} の全履歴経路にも依存する。
• 最終遅延区間 [T−l, T] において、オプション価格は ∂F/∂t = −½g²(S(t−b))x²∂²F/∂x² − rx∂F/∂x + rF の形の確率的PDEを満たし、端末条件 F(T,x) = (x−K)+ を満たす。
• t < T−l の場合、解 F がフィルトレーション (F_t) に対して予測不能である性質のため、V(t) = e^{−r(T−t)}F(t,S(t)) の表現は成立しなくなる。