[論文レビュー] A Derivation of Vector and Momentum Matrices

Richard Shurtleff|ArXiv.org|Jan 4, 2004

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、角運動量およびブースト生成子の作用下でのベクトル行列のローレンツ変換性から導かれる交換関係を解くことにより、非ユニタリな有限次元のポアンカレ群表現におけるベクトル行列および運動量行列の明示的行列表現を導出する。主な結果は、スピン量子数およびクリービング・ゴルダン係数を用いた、スピン対が |A−C|=1/2 および |B−D|=1/2 を満たす可約ローレンツ表現に対して有効な、ベクトル行列成分の完全な公式の集合である。

ABSTRACT

Given standard angular momentum and boost matrices, the commutation rules for vector and momentum matrices are solved. The resulting matrix components are displayed as detailed functions of spin with factors such as the square root of (2A+1). For comparison and as an alternative, Lyubarskii's formulas in terms of Clebsch-Gordan coefficients are recalled from the literature and displayed. A set of these momentum matrices combined with the corresponding set of six angular momentum and boost matrices form the generators of a nonunitary finite dimensional representation of the Poincare group of translations, rotations and boosts. A problem set is included. PACS: 11.30.Cp Lorentz and Poincare invariance

研究の動機と目的

• ポアンカレ代数の交換関係を満たすベクトル行列および運動量行列の明示的行列成分を導出すること。
• ローレンツ群の有限次元表現において非自明なベクトル行列が存在する条件を特定すること。
• スピン量子数 A, B, C, D および自由パラメータ t_AB^12, t_CD^21 を用いたベクトル行列成分の閉形式表現を提供すること。
• 運動量行列を、[P_μ, P_ν] = 0 の可換性条件からベクトル行列を介して体系的に構成する方法を確立すること。
• 得られた結果をリュバールスキーの公式（クリービング・ゴルダン係数を用いる）と比較し、一貫性を検証すること。

提案手法

• 角運動量およびブースト生成子の作用下でのベクトル行列のローレンツ変換性から導かれる交換関係を解く。
• J_z および K_z の対角行列を用いて、固有値構造を活用して非ゼロの行列ブロックを特定する。
• 上昇・下降演算子 J^± を用いて、V_x および V_y の成分に関する再帰関係を導出する。
• 再帰関係を解き、V_± = V_x ± iV_y を得た後、代数的性質から V_z および V_t を再構成する。
• 得られたベクトル行列を用いて、[P_μ, P_ν] = 0 を満たす運動量行列 P_μ を導出する。
• ポアンカレ代数の全関係式を検証し、結果を付録に掲載して参照用とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なベクトル行列が存在する可約ローレンツ表現 (A,B) はどれか？
• RQ2 可約表現におけるスピン対 (A,B) ⊗ (C,D) に対して非自明なベクトル行列が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 ベクトル行列成分をスピン量子数およびクリービング・ゴルダン係数を用いて明示的に表現できるか？
• RQ4 得られる運動量行列は何か？ そして [P_μ, P_ν] = 0 の可換性条件をどのように満たすか？
• RQ5 導出されたベクトル行列は、ディラック・ガンマ行列のような既知の表現と関係づけられるか？

主な発見

• 非自明なベクトル行列は、可約表現において |A - C| = 1/2 および |B - D| = 1/2 を満たすスピン対を持つ場合にのみ存在する。可約でないローレンツ表現 (A,B) には非自明なベクトル行列は存在しない。
• スピン量子数 A, B, C, D および自由パラメータ t_AB^12, t_CD^21 を用いたベクトル行列成分の明示的公式が導出され、√(2A+1) などの係数を含む。
• 運動量行列は、ベクトル行列に [P_μ, P_ν] = 0 の可換性条件を課すことによって構成され、非ユニタリな有限次元のポアンカレ代数表現が得られる。
• (1/2,1/2)⊗(1,0) に対する導出されたベクトル行列は明示的に計算され、ポアンカレ代数の交換関係を満たすことが確認された。
• ディラック・ガンマ行列は、(0,1/2)⊗(1/2,0) および (1/2,0)⊗(0,1/2) のスピン対に対応する導出されたベクトル行列の特別な場合であることが示された。
• 本論文で得られたベクトル行列の公式とリュバールスキーのクリービング・ゴルダンに基づく表現との間の対応関係が確立され、スピン依存関数を含む明示的な一致条件が提示された。