[論文レビュー] A Derivative-Free Approach to Total Variation Regularization

Carsten Pontow, Otmar Scherzer|ArXiv.org|Nov 6, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最近の非局所的二重積分によるTV半ノルムの積分的特徴付けを活用して、導関数を必要としないTotal Variation (TV)正則化のアプローチを提案する。近似汎関数の最小化子が元のTV正則化汎関数の最小化子に収束することを確立し、新たな数値スキームの構築を可能にするとともに、バイラテラルフィルタリングとの関連を明らかにする。

ABSTRACT

The goal of this paper is to present a novel approach for total variation regularization and Sobolev minimization, which are prominent tools for variational imaging. Thereby we use derivative free characterizations of the total variation semi-norm and Sobolev semi-norms of functions recently derived by Bourgain, Brézis, Mironescu and Dávila. Their analysis is to approximate the semi-norms of a function by singular integral operators. With this characterization we derive a series of novel regularization methods for total variation minimization which have as a novel feature a non-local double integral regularization term.

研究の動機と目的

• TV半ノルムの最近の積分的特徴付けを用いて、導関数を必要としないTotal Variation正則化の新規フレームワークを構築すること。
• 特異積分作用素に基づく近似汎関数の系列の変分的収束を分析すること。
• 明示的な微分計算を避けるTV最小化のための新たな数値スキームを導出すること。
• 既存の数値的手法の解析的基盤を明確にし、バイラテラルフィルタリングとの関連を明らかにすること。
• Sobolev空間への応用を拡張し、測度の微分可能性を要件としない正則化の関数空間的枠組みを提供すること。

提案手法

• 差分商とアイデンティティ近似カーネルを含む二重積分を用いた、TV半ノルムおよびSobolev (1,p)-半ノルムの導関数フリー特徴付けを用いる。
• 正則化汎関数を $ \mathcal{R}_n^p(f) = \int_\Omega \int_\Omega \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^p} \varphi_n(x-y) \,dx\,dy $ と定義する。ここで $ \varphi_n $ は中心対称で非負であり、原点でデルタ関数に収束する。
• 近似汎関数 $ \mathcal{F}_n^p(f) = \frac{1}{2}\int_\Omega (f - f^\delta)^2 \,dx + \frac{\alpha}{K_{p,N}} \mathcal{R}_n^p(f) $ を構築し、$ n \to \infty $ の極限で元のTVまたはSobolev汎関数に収束する。
• 各 $ \mathcal{F}_n^p $ が一意な最小化子を持ち、その最小化子の系列が極限汎関数 $ \mathcal{F}^p $ の最小化子に収束することを証明する。
• グリッド上の区分定数関数に対して $ \mathcal{R}_n^1(f) $ を明示的に評価し、隣接画素値間の絶対差の形で表現する。
• 径数的および非径数的カーネル（例えば正方形上での一様カーネル）を用い、正則化項の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導関数を用いずに、積分作用素のみを用いてTotal Variation半ノルムを近似可能か？
• RQ2 近似汎関数 $ \mathcal{F}_n^p $ の最小化子は、元のTVまたはSobolev汎関数の最小化子に収束するか？
• RQ3 区分定数画像における非局所的二重積分正則化項の解析的構造は何か？
• RQ4 径数的カーネルと非径数的カーネルの違いが、得られる正則化汎関数にどのように影響するか？
• RQ5 このフレームワークは、バイラテラルフィルタリングのような既存の数値スキームを説明または統合できるか？

主な発見

• 近似汎関数 $ \mathcal{F}_n^p $ の最小化子 $ f_n $ の系列が、元の汎関数 $ \mathcal{F}^p $ の一意な最小化子に収束することを示し、変分的収束を確立した。
• 径数的カーネルの場合、$ \mathcal{R}_n^1(f) $ は $ \frac{1}{3\pi n} \left( \sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n |a_{i,j} - a_{i-1,j-1}| + \cdots \right) $ に評価され、側面および対角隣接画素に対する明示的係数が得られる。
• 正方形 $ (-1/n, 1/n)^2 $ 上の一様カーネルの場合、$ \mathcal{R}_n^1(f) $ は $ \frac{1}{3} \frac{\sqrt{2}-1}{n} \sum |a_{i,j} - a_{i-1,j-1}| + \frac{1}{12} \frac{3\ln(\sqrt{2}+1) - 3\ln(\sqrt{2}-1) - 2(\sqrt{2}-1)}{n} \sum |a_{i,j} - a_{i,j-1}| $ を与える。
• 正則化項 $ \mathcal{R}_n^1(f) $ が極限においてバイラテラルフィルタリング操作と等価であることが示され、TVノイズ除去と非局所フィルタリングの間の理論的リンクを提供した。
• TV測度の微分可能性を要件としない数値スキームを可能にし、純粋な関数空間的定式化を実現した。
• 領域 $ \Omega $ と $ f^\delta $ に対して標準的な仮定の下で、近似汎関数の収束が証明され、すべての $ n $ に対して $ \mathcal{F}_n^p $ が一意な最小化子を持つことが保証された。