[論文レビュー] A description of all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般の場合の行列ハムバーグモーメント問題のすべての解を、対称作用素の一般化された解消作用素と作用素論的手法を用いて完全に特徴づけている。解と適切な関数のクラスに属する作用素関数の間の一対一対応を確立し、完全に不定または非退化な場合に既に知られていた結果を、やや弱い可解性条件のもとで、問題の全一般性にまで拡張している。

ABSTRACT

We describe all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case (no conditions besides solvability are assumed). We use the fundamental results of A.V. Shtraus on the generalized resolvents of symmetric operators. All solutions of the truncated matrix Hamburger moment problem with an odd number of given moments are described in an "almost nondegenerate" case. Some conditions of solvability for the scalar truncated Hamburger moment problem with an even number of given moments are given.

研究の動機と目的

• 一般の場合の行列ハムバーグモーメント問題のすべての解を、劣化数や不定性のケースに制限を設けずに完全に記述すること。
• これまで完全に不定または非退化な場合に限られていた既存の結果を、任意の可解性条件を組み込むことで拡張すること。
• 切り捨てられた行列ハムバーグモーメント問題の解と右半平面上の作用素関数のクラスとの間の一対一対応を確立すること。
• 偶数個のモーメントを持つスカラー切り捨てハムバーグモーメント問題に対して、単純で代数的な可解性基準を導出すること。
• 一般化された解消作用素、再生核ヒルベルト空間、および行列直交多項式を用いた以前のアプローチを統合・一般化すること。

提案手法

• 任意の欠損指数をもつ対称作用素の一般化された解消作用素に関するA.V. Shtrausの結果を用い、解をパラメータ化する。
• モーメント行列 $ \Gamma_d $ を用いて、モーメント列 $ \{S_n\} $ から対称作用素 $ A $ を構成する。条件は $ \Gamma_{d-1} > 0 $、$ \Gamma_d \geq 0 $ である。
• 解 $ M(x) $ と作用素関数 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ の間の一対一対応を確立する。ここで $ K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ は、上半平面から収縮作用素の集合への解析的作用素関数のクラスを表す。
• Stieltjesの逆公式を用いて解を導出する：$ \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x - \lambda} dm_{k,j}(x) = \left( (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1} x_k, x_j \right)_H $、$ \lambda \in \mathbb{C}_+ $ に対して成り立つ。
• 再生核ヒルベルト空間の理論と作用素モデルを応用して、解空間を特徴づける。
• スカラーの場合には、モーメント行列 $ \Gamma_n $ のランクと定符号性に基づく可解性基準を導出する。特に $ \Gamma_d > 0 $ または $ \Gamma_d $ が特異的だが $ r < d $ に対して $ \Gamma_r > 0 $ である場合を特別に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の可解性条件のもとで、行列ハムバーグモーメント問題の完全な解の集合は何か？
• RQ2 すべての解は、上半平面における作用素関数の観点からどのようにパラメータ化できるか？
• RQ3 偶数個のモーメントを持つスカラー切り捨てハムバーグモーメント問題の可解性の必要十分条件は何か？
• RQ4 完全に不定または非退化な場合の既存の結果は、どのように一般化されているか？
• RQ5 任意の欠損指数をもつ対称作用素の一般化された解消作用素を用いて、解空間を完全に記述できるか？

主な発見

• 行列ハムバーグモーメント問題のすべての解は、作用素関数 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ によってパラメータ化され、一対一対応が確立される。
• 条件 $ \Gamma_{d-1} > 0 $、$ \Gamma_d \geq 0 $ のもとで切り捨てられた行列ハムバーグモーメント問題のすべての解は、関連する作用素 $ A_{F(\lambda)} $ の解消作用素を含むStieltjes型積分公式によって与えられる。
• 偶数個のモーメントを持つスカラーの場合、解が存在するための必要十分条件は、すべてのモーメントがゼロであるか、$ \Gamma_d > 0 $ であるか、または $ \Gamma_r > 0 $、$ \det\Gamma_{r+1} = 0 $ であり、関連する多項式が実数の相異なる根を持ち、非負のジャンプ重みを持つことである。
• $ \Gamma_d > 0 $ のとき、解は一意的であり、$ d+1 $ 個の相異なる点に台を持つ正の測度に対応する。
• $ \Gamma_r > 0 $、$ \Gamma_{r+1} $ が特異的であり、関連する多項式 $ p(x) $ が実数の相異なる根を持つとき、解が一意的に存在するのは、ジャンプ重みのための連立一次方程式系に非負の解が存在する場合に限る。
• すべてのモーメントがゼロの場合と $ \Gamma_d > 0 $ の場合の両方で解は一意的であり、$ r < d $ の特異的ケースでは、ジャンプ重みの線形方程式系の解が非負である場合にのみ一意性が保たれる。