[論文レビュー] A Deterministic Approximation Algorithm for Computing a Permanent of a 0,1 matrix

David Gamarnik, Dmitriy Katz|ArXiv.org|Feb 2, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、0-1行列のpermanentを乗法的要因$(1+\epsilon)^n$の範囲で決定的近似するアルゴリズムを提示する。部分マッチングの数え上げに対する決定的アルゴリズムとJerrum-Vaziraniの拡張子分解を活用し、定数次数の拡張子に対しては多項式時間、一般の行列に対しては$\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$時間で実行可能である。

ABSTRACT

We construct a deterministic approximation algorithm for computing a permanent of a $0,1$ $n$ by $n$ matrix to within a multiplicative factor $(1+ε)^n$, for arbitrary $ε>0$. When the graph underlying the matrix is a constant degree expander our algorithm runs in polynomial time (PTAS). In the general case the running time of the algorithm is $\exp(O(n^{2\over 3}\log^3n))$. For the class of graphs which are constant degree expanders the first result is an improvement over the best known approximation factor $e^n$ obtained in \cite{LinialSamorodnitskyWigderson}. Our results use a recently developed deterministic approximation algorithm for counting partial matchings of a graph Bayati et al., and Jerrum-Vazirani decomposition method.

研究の動機と目的

• 「#P完全」な設定におけるpermanent計算の確率的アルゴリズムと決定的アルゴリズムの間のギャップを埋める。
• 先行研究[LSW00]の$e^n$の境界よりも良い乗法的要因を持つ決定的近似アルゴリズムを提供すること。
• 部分マッチングと拡張子分解を介して、決定的カウント技術のpermanent計算への適用範囲を拡張すること。
• 定数次数の拡張子をもつ行列に対して多項式時間近似を達成すること。

提案手法

• アルゴリズムは、グラフ内のすべての部分マッチングおよび完全マッチングのパーティション関数の推定に、permanent計算を還元する。
• 定数次数のグラフに対して多項式時間で実行可能な、[BGK+]の部分マッチングの数え上げに対する決定的近似アルゴリズムを用いる。
• 一般のグラフに対しては、Jerrum-Vaziraniの拡張子分解を適用し、グラフを拡張子と非拡張子に再帰的に分割する。
• permanentは、部分グラフの近似を組み合わせることで再帰的に推定され、再帰呼び出し全体で乗法的要因$(1+\epsilon)^n$を保証する。
• 再帰的解析により実行時間を上限づけ、二項係数と再帰的サブプロブレムサイズの境界を用いて$g(n) \leq \exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$を示す。
• すべての再帰的サブプロブレムで境界を保ち、結果を乗法的に組み合わせることで、近似要因$(1+\epsilon)^n$を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0-1行列のpermanentに対して、$e^n$より良い乗法的近似要因を達成できる決定的アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 元のグラフが定数次数の拡張子である場合、permanentの多項式時間近似は達成可能か？
• RQ3 部分マッチングのための決定的カウント技術を、permanentの近似に拡張することは可能か？
• RQ4 拡張子分解を用いて、一般の0-1行列のための決定的近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 決定的設定において、permanent計算の近似要因と実行時間の最適なトレードオフは何か？

主な発見

• 定数次数の拡張子グラフに対して、アルゴリズムは多項式時間で$(1+\epsilon)^n$の乗法的近似を達成する。
• 一般の0-1行列に対して、同じ$(1+\epsilon)^n$の近似要因を$\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$時間で達成する。
• 実行時間における$\epsilon$依存性は$\exp(O(\epsilon^{-1/2}))$であり、$n$に関しては超指数的だが、完全に多項式的ではない。
• [LSW00]の$e^n$の近似要因を改善し、固定された$\epsilon > 0$に対して著しく良い要因を提供する。
• 再帰的分解戦略により、サブプロブレム全体で近似要因が乗法的であることが保証される。
• 二項係数と再帰的サブプロブレムサイズの境界を用いた解析により、最終的に実行時間の$\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$の境界が証明される。