[論文レビュー] A deterministic polynomial time algorithm for non-commutative rational identity testing

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、非可換変数上の記号的行列の可逆性をテストする最初の決定的多項式時間アルゴリズムを提示し、長年の未解決問題を解決する。グルヴィッツのアルゴリズムを分析・拡張することで、非可換有理式恒等性テスト、自由歪fieldにおける語問題、非可換行列ランクの計算を効率的に解き、可換ランクに対して2倍近似を達成する。

ABSTRACT

In this paper we present a deterministic polynomial time algorithm for testing if a symbolic matrix in {\emph non-commuting} variables over $\mathbb{Q}$ is invertible or not. The analogous question for commuting variables is the celebrated polynomial identity testing (PIT) for symbolic determinants. In contrast to the commutative case, which has an efficient probabilistic algorithm, the best previous algorithm for the non-commutative setting required exponential time [IQS15] (whether or not randomization is allowed). The algorithm efficiently solves the word for the free skew field, and the identity testing problem for arithmetic formulae with division over non-commuting variables, two problems which had only exponential-time algorithms prior to this work. The main (and simple) technical contribution of this paper is an analysis of an existing algorithm due to Gurvits which solved the same problem in some special cases. We also extend the algorithm to compute the (non-commutative) rank of a symbolic matrix, yielding a factor 2 approximation on the commutative rank. Symbolic matrices in non-commuting variables, and the related structural and algorithmic questions, have a remarkable number of diverse origins and motivations. They arise independently in (commutative) invariant theory and representation theory, linear algebra, optimization, linear system theory, quantum information theory, approximation of the permanent and naturally in non-commutative algebra. We provide a detailed account of some of these sources and their interconnections. In particular we explain how some of these sources played an important role in the development of Gurvits' algorithm and in our analysis of it here.

研究の動機と目的

• ℚ 上の非可換変数における記号的行列の可逆性をテストする決定的多項式時間アルゴリズムの開発を目的とする。
• 従来、効率的な決定的解法が存在しなかった、非可換有理式恒等性テスト問題を解決することを目的とする。
• アルゴリズムを拡張し、記号的行列の非可換ランクを計算し、可換ランクに対して2倍近似を提供することを目的とする。
• 非可換行列問題の背後にある多様な動機（不変量理論、量子情報、線形代数、最適化）を統一的かつ分析することを目的とする。
• グルヴィッツのアルゴリズムをより広い文脈で厳密に分析し、従来の特殊ケースを超えてその適用範囲を拡張することを目的とする。

提案手法

• グルヴィッツが開発した既存のアルゴリズムを、元々は制限された設定でのみ有効であったが、一般の記号的行列（非可換変数）に適応・分析する。
• 非可換ランクの計算を通じてランクに基づくアプローチを用いて、可逆性を決定する。
• 自由歪fieldの構造を活用し、恒等性テスト問題を行列ランク計算に還元する。
• 線形代数および非可換代数の技術を用いて、決定的多項式時間計算量を保証する。
• 除法を含む算術式に対して非可換変数を扱えるようにアルゴリズムを拡張し、この設定における恒等性テスト問題を解く。
• 非可換行列ランクと可換ランクの間の関係を確立し、後者に対して2倍近似を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変数における記号的行列の非可換有理式恒等性テストに対して、決定的多項式時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 自由歪fieldにおける語問題の計算量は何か？ そして、それを効率的に解けるか？
• RQ3 記号的行列の非可換ランクを多項式時間でどのように計算できるか？
• RQ4 非可換行列問題と、量子情報、不変量理論などの他の分野との間にどのような関係があるか？
• RQ5 グルヴィッツのアルゴリズムは、元来の範囲を超えて一般化され、厳密に分析可能か？

主な発見

• この論文は、非可換有理式恒等性テストのための最初の決定的多項式時間アルゴリズムを提示し、主要な未解決問題を解決する。
• アルゴリズムは、従来指数時間が必要とされていた自由歪fieldにおける語問題を効率的に解く。
• 記号的行列の非可換ランクを多項式時間で計算でき、可換ランクに対して2倍近似を提供する。
• 除法を含む非可換変数における算術式の恒等性テストへもアルゴリズムを拡張でき、従来効率的解法が存在しなかった問題を解ける。
• グルヴィッツのアルゴリズムの分析により、その適用範囲がより広く一般化可能であることが明らかになり、非可換設定における成功の理論的根拠が得られる。
• 非可換代数と、量子情報、最適化、不変量理論などの多様な分野との深い関係が確立される。