[論文レビュー] A Deterministic Sub-linear Time Sparse Fourier Algorithm via Non-adaptive Compressed Sensing Methods

Mark Iwen|ArXiv.org|Aug 9, 2007

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、非適応的圧縮センシングを用いた、最初の決定的で部分線形時間のスパースフーリエ変換アルゴリズムを提示する。この手法により、失敗のない形でB個の最大周波数成分をO(B² log N)時間で復元可能となる。従来の決定的圧縮センシングに比べ、代数的可圧縮性を向上させつつ指数的減衰特性を維持することで、確率的失敗が許されないミッションクリティカルな応用に適している。

ABSTRACT

We study the problem of estimating the best B term Fourier representation for a given frequency-sparse signal (i.e., vector) $ extbf{A}$ of length $N \gg B$. More explicitly, we investigate how to deterministically identify B of the largest magnitude frequencies of $\hat{ extbf{A}}$, and estimate their coefficients, in polynomial$(B,\log N)$ time. Randomized sub-linear time algorithms which have a small (controllable) probability of failure for each processed signal exist for solving this problem. However, for failure intolerant applications such as those involving mission-critical hardware designed to process many signals over a long lifetime, deterministic algorithms with no probability of failure are highly desirable. In this paper we build on the deterministic Compressed Sensing results of Cormode and Muthukrishnan (CM) \cite{CMDetCS3,CMDetCS1,CMDetCS2} in order to develop the first known deterministic sub-linear time sparse Fourier Transform algorithm suitable for failure intolerant applications. Furthermore, in the process of developing our new Fourier algorithm, we present a simplified deterministic Compressed Sensing algorithm which improves on CM's algebraic compressibility results while simultaneously maintaining their results concerning exponential decay.

研究の動機と目的

• 失敗に耐性のない応用を想定し、部分線形時間複雑度を持つ決定的スパースフーリエ変換アルゴリズムの開発。
• 既存の決定的圧縮センシング手法を改善し、代数的可圧縮性を向上させつつ係数分布の指数的減衰特性を維持すること。
• 信号のB個の最大周波数成分を、Bおよびlog Nの多項式時間で復元可能とし、確率的失敗なしに実現すること。
• 決定的マルチスケールフーリエサンプリングにおける周波数干渉の課題に、中国剰余定理を用いて対処すること。
• 実世界のハードウェアシステムにおいて、確率的アルゴリズムに代わる実用的で決定的なサブ線形時間フーリエアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• CormodeとMuthukrishnan（CM）の決定的圧縮センシングフレームワークを、スパースフーリエ変換問題に適応する。
• 素数モジュロサンプリングと中国剰余定理を用いて構築された非適応的測定行列を用い、並列的で部分線形時間の周波数同定を実現する。
• 完全なサンプリングが不可能な場合に備え、各サンプルあたりO(log δ⁻¹ + p)ポイントの局所補間を実施し、欠落した信号値を推定する。
• 構造的集合の特性関数を用いて測定ベクトルを構築し、周波数ビン内のエネルギーを効率的に捉える。
• 測定ベクトルを用いて候補周波数位置を特定するためのアルゴリズム1の変更版を適用し、その後、係数推定のためにアルゴリズム2を実行する。
• 補間精度を制御することで、測定誤差をO(δ · B⁻ᵖ)に抑え、理論的保証を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的アルゴリズムに依存せずに、決定的で部分線形時間のスパースフーリエ変換を構築することは可能か？
• RQ2 決定的圧縮センシングにおける代数的可圧縮性を向上させつつ、係数分布の指数的減衰特性を維持するにはどうすればよいか？
• RQ3 部分線形時間内で、B個の最大周波数成分を決定的に復元するために必要な最小サンプル数は何か？
• RQ4 完全な信号サンプリングが得られない状況でも、補間誤差をどのように制御すれば精度を維持できるか？
• RQ5 中国剰余定理は、決定的でマルチスケールサンプリングフレームワークにおける周波数復元に効果的に適用可能か？

主な発見

• δ = O(log⁻¹N)の条件下で、Bスパース信号に対して本アルゴリズムはÕ(B²)の時間計算量を達成し、既存の最良の確率的サブ線形時間フーリエアルゴリズムと同等の性能を発揮する。
• 本手法は失敗確率ゼロを保証するため、長寿命ハードウェアなど信頼性要件の高いミッションクリティカルシステムに適している。
• CMの決定的圧縮センシングを改善し、代数的可圧縮性を向上させつつ、係数分布の指数的減衰特性を維持している。
• 各サンプルあたりO(log δ⁻¹ + p)の補間ポイントを用いることで、測定誤差をO(δ · B⁻ᵖ)に抑え、p可圧縮信号に対してロバスト性を確保している。
• p可圧縮信号に対しては、Õ(B²ᵖ/(ᵖ⁻¹) δ²/(¹⁻ᵖ))の時間とサンプル数を用いて、B項近似を返し、誤差が‖A − R_opt‖²₂ + δ‖C_opt_B‖²₂に抑えられる。
• 本フレームワークにより、完全な信号サンプルが得られない状況でも、欠落値の高精度な局所補間を介して決定的復元が可能となる。