[論文レビュー] A development of Lagrange interpolation, Part I: Theory

Mehdi Delkhosh, Kourosh Parand+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形および非線形の多次元微分方程式を解くための新しいスペクトル法として、発展的ラグランジュ補間（DLI）法を提案する。新たに定義された関数のクラス—発展的ラグランジュ関数（DLF）—を用いることで、コロケーション点においてクロネッカーのデルタ性質を満たし、高次導関数の作用行列を導出し、複素曲線積分に基づく誤差解析を確立する。これにより、指数的収束性と非有界領域および特異問題への柔軟性を実現する。

ABSTRACT

In this work, we introduce the new class of functions which can use to solve the nonlinear/linear multi-dimensional differential equations. Based on these functions, a numerical method is provided which is called the Developed Lagrange Interpolation (DLI). For this, firstly, we define the new class of the functions, called the Developed Lagrange Functions (DLFs), which satisfy in the Kronecker Delta at the collocation points. Then, for the DLFs, the first-order derivative operational matrix of $ extbf{D}^{(1)}$ is obtained, and a recurrence relation is provided to compute the high-order derivative operational matrices of $ extbf{D}^{(m)}$, $m\in \mathbb{N}$; that is, we develop the theorem of the derivative operational matrices of the classical Lagrange polynomials for the DLFs and show that the relation of $ extbf{D}^{(m)}=( extbf{D}^{(1)})^{m}$ for the DLFs is not established and is developable. Finally, we develop the error analysis of the classical Lagrange interpolation for the developed Lagrange interpolation. Finally, for demonstrating the convergence and efficiency of the DLI, some well-known differential equations, which are applicable in applied sciences, have been investigated based upon the various choices of the points of interpolation/collocation.

研究の動機と目的

• 線形および非線形の多次元微分方程式を、より高い精度と効率で解くための新しいスペクトル法の開発。
• コロケーション点においてクロネッカーのデルタ条件を満たす新たな基底関数のクラス—発展的ラグランジュ関数（DLF）—の定義。
• DLFの導関数作用行列を導出し、スペクトル法における高次導関数近似を可能にする。
• 古典的ラグランジュ補間の誤差解析を、複素曲線積分を用いた発展的枠組みへと拡張する。
• 非有界領域や無限境界条件を有する問題への本手法の適用可能性の検証。

提案手法

• 微分可能な関数 $\psi_i(x)$ を用いた節点の変換により定義される発展的ラグランジュ関数（DLF）を導入し、$i \neq j$ のとき $\psi_i(x_j) \neq \psi_i(x_i)$ かつ $\psi_i'(x_i) \neq 0$ を満たすものとする。
• コロケーション点 $x_i$ における DLF に対して、クロネッカーのデルタ性質 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$ を確立する。
• DLF に対する一次導関数作用行列 $\mathbf{D}^{(1)}$ を導出し、$m \in \mathbb{N}$ の高次導関数作用行列 $\mathbf{D}^{(m)}$ に対する再帰関係を提示する。
• $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ が DLF に対して成り立たないことを示し、古典的ラグランジュ多項式とは根本的に異なる一般化であることを示す。
• 留数理論を用いて、補間関数および誤差項の複素曲線積分表現を構築する。
• 曲線積分に基づく誤差公式を提示：$u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$、ここで $\Gamma$ はすべての $\psi_j(x_j)$ および $\psi_j(x)$ を囲む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クロネッカーのデルタ性質を維持しつつ、スペクトル法における効率的な導関数計算を可能にする新たな補間関数のクラスを構築可能か？
• RQ2 新規 DLF の導関数作用行列は、古典的ラグランジュ多項式のそれとどのように異なるか。特に、関係式 $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ の成り立たなさについて。
• RQ3 発展的ラグランジュ補間における誤差の構造は何か。複素曲線積分を用いて表現可能か？
• RQ4 DLI 法は非有界領域や無限境界条件を有する微分方程式に適用可能か？
• RQ5 DLI の収束特性は、古典的ラグランジュ補間と比較してどのように異なるか。特に指数的収束性の観点から。

主な発見

• 発展的ラグランジュ関数（DLF）は、コロケーション点においてクロネッカーのデルタ性質 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$ を満たし、微分方程式の効率的コロケーション解法を可能にする。
• DLF に対する一次導関数作用行列 $\mathbf{D}^{(1)}$ が導出され、$m \in \mathbb{N}$ の高次導関数作用行列 $\mathbf{D}^{(m)}$ を計算するための再帰関係が確立された。
• $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ が DLF に対して成り立たないことは、古典的ラグランジュ多項式をはるかに超えた非自明な一般化であることを示している。
• 補間誤差のための複素曲線積分表現が導出され、$u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$ が成り立つ。ここで $\Gamma$ はすべての $\psi_j(x_j)$ および $\psi_j(x)$ を囲む。
• 関数 $\psi_i(x)$ の選択の柔軟性のおかげで、指数的収束性を実現し、非有界領域や無限境界条件を有する問題への適用が可能である。
• 提案された DLI フレームワークにより、計算コストを低減し、高精度を達成する、堅牢でグローバルかつメッシュフリーなスペクトル法が実現可能となり、多次元微分方程式の解法に有効である。