[論文レビュー] A dg Lie model for relative homotopy automorphisms

Alexander Berglund, Bashar Saleh|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、単連結空間 $X$ の部分空間 $A\subset X$ を固定するホモトピー自己同型のモノイドである相対ホモトピー自己同型の分類空間の普遍被覆の微分付き Lie (dg Lie) モデルを構成する。有理ホモトピー論と幾何的バー構成を用いて、$X$ のコフリーブレット Lie モデル上で、$A$ のコフリーブレット モデル上に消える導分の dg Lie 環の正の切断が、$B\operatorname{aut}_A(X)$ の quasi-isomorphic Lie モデルを与えることを示している。これは、[BM14] で述べられていたが証明が与えられていなかった結果について、洗練された概念的証明を提供することで、文献における空白を埋めるものである。

ABSTRACT

We construct a dg Lie model for the universal cover of the classifying space of the grouplike monoid of homotopy automorphisms of a space that fix a given subspace.

研究の動機と目的

• 文献 [BM14] に述べられた結果について、[Tan83] の一般化を避けることで、きめ細かく洗練された証明を提供すること。
• 単連結で、有限 CW ホモトピー型を持つ被覆 $A\subset X$ に対して、$B\operatorname{aut}_A(X)$ の普遍被覆の dg Lie モデルを確立すること。
• コフリーブレット Lie モデル $\mathbb{L}_X$ 上で $A$ のコフリーブレット モデル上に消える導分の dg Lie 環の正の切断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ が、$B\operatorname{aut}_A(X)$ の Lie モデルであることを示すこと。
• Lie モデル写像 $i:\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆である必要性を、その写像が被覆でない場合にモデルが失敗する反例を構成することで明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、幾何的バー構成を用いて、$B\operatorname{aut}_{A,\circ}(X)$ を $B(*, \operatorname{aut}_{*,\circ}(X), \operatorname{map}_*^\iota(A,X))$ として実現し、$X$ への基点付き写像空間への基点付きホモトピー自己同型の作用と関連付ける。
• 既知の有理モデルを $B\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ と $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ に適用し、バー構成のためのねじれ半直積 Lie モデル $\mathfrak{g} \ltimes_\xi L$ を構成する。
• 主な構成は、$\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆であるとき、$B\operatorname{aut}_A(X)$ の普遍被覆をモデル化する正の切断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ である。
• 証明は、$B\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ と $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ の有理ホモトピー型が既知であることに依存しており、これにより導来代数的技法を用いてモデルを構築できる。
• 反例として、$S^3 \subset D^4$ を用い、Lie モデル写像が被覆でない場合、自明でない導分代数が正しいホモトピー型をモデル化しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理ホモトピー論と幾何的バー構成を用いて、$B\operatorname{aut}_A(X)$ の普遍被覆の dg Lie モデルを構築できるか？
• RQ2 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆であるとき、正の切断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ は $B\operatorname{aut}_A(X)$ の quasi-isomorphic Lie モデルであるか？
• RQ3 Lie モデル写像 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆でない場合、Lie モデルはどのように変化するか？
• RQ4 境界付き多様体、たとえば $D^4$ で $\partial D^4 = S^3$ である場合、モデルはどのように振る舞うか？

主な発見

• $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆であるとき、dg Lie モデル $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ は $B\operatorname{aut}_A(X)$ の普遍被覆の quasi-isomorphic Lie モデルである。
• モデルは、$\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ が $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ に作用するバー構成に基づき、既知の有理モデルを用いて構成されている。
• 正の切断 $\langle 1\rangle$ により、分類空間の単連結ホモトピー型が正しく捕捉されている。
• 反例により、Lie モデル写像 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ が被覆でない場合、$\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\operatorname{im}(i))$ は正しいモデルと quasi-isomorphic でないことが示された。特に、$\operatorname{Der}(\mathbb{L}(a,b)\|[a,a])$ において $\operatorname{ad}_a$ は非自明なサイクルである。
• $X = D^4$ かつ $A = S^3$ の場合、モデル $\operatorname{Der}(\mathbb{L}(u,v)\|\mathbb{L}(u))$ はホモトピー的に自明であり、$\operatorname{aut}_{S^3}(D^4)$ が単連結であることと整合的である。