[論文レビュー] A diagrammatic category for generalized Bott-Samelson bimodules and a diagrammatic categorification of induced trivial modules for Hecke algebras

Ben Elias|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般化されたボット＝サメルセン双モジュールを用いて、図式的カテゴライゼーションを一般化されたボット＝サメルセン双モジュールへと拡張する。任意のパラボリック部分群 $W_J \subset S_n$ に対して、$R \otimes_{R^J} R$ が生成する $R$-双モジュールの部分圏について、図式的表現を提供し、ヘッケ代数の誘導された自明表現の図式的カテゴライゼーションを構成する。主な結果は、$W_J$ の長さ最大の元の簡約表現に対して、高次コクセター理論と射影／包含写像を用いて $M_x \circ M_y$ の合成を明示的に計算することである。

ABSTRACT

Let $R$ be the polynomial ring of the reflection representation of $W=S_n$, and for any parabolic subgroup $W_J \subset W$ corresponding to a subset $J$ of the Dynkin diagram, let $R^J$ be the subring of polynomials invariant under $W_J$. When $J=\{i\}$ is a singleton, denote the ring $R^i$ and the corresponding reflection $s_i$. Previously, in joint work with Mikhail Khovanov, the subcategory of $R$-bimodules generated monoidally by $R \otimes_{R^i} R$ for arbitrary $i$ was given a diagrammatic presentation, so that morphisms may be viewed as labelled planar graphs. Here, a diagrammatic presentation is given for the subcategory generated by $R \otimes_{R^J} R$ for arbitrary $J$, extending the previous diagrammatics. In addition, a diagrammatic presentation is given for a certain subcategory of $R^J-R$-bimodules which categorifies the representation of the Hecke algebra of $W$ constructed by inducing the trivial representation of the Hecke algebra of $W_J$. Whenever $x=s_{i_1}s_{i_2}\... s_{i_d}$ is a reduced expression for the longest element of $W_J$, the $R$-bimodule $R \otimes_{R^J} R$ will be a direct summand of $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes_{R^{i_2}} R \otimes \... \otimes_{R^{i_d}} R$. The key result is an explicit computation of the map $M_x o M_y$, for two reduced expressions $x,y$ of the longest element, given by projecting $M_x o R \otimes_{R^J} R$ and including $R \otimes_{R^J} R o M_y$. The construction of this map uses the higher Coxeter theory of Manin and Schechtman.

研究の動機と目的

• 単一の反転から $S_n$ の任意のパラボリック部分群 $W_J \subset S_n$ への $R$-双モジュールの図式的表現を拡張すること。
• ヘッケ代数の $W_J$ からの自明表現の誘導によって得られる表現の図式的カテゴライゼーションを構成すること。
• 長さ最大の元 $W_J$ の簡約表現 $x,y$ に対して、$M_x \circ M_y$ の明示的記述を提供すること。
• $R \otimes_{R^i} R$ の場合に依存する従来の図式的表現を、任意の $J$ に対する $R \otimes_{R^J} R$ の場合に一般化すること。
• マニンとシェフタマンの高次コクセター理論を応用して、カテゴライズド設定におけるモルフィズム合成を計算すること。

提案手法

• $W = S_n$ の反射表現の多項式環 $R$ 及びその $W_J$-不変部分環 $R^J$ を用いて、一般化されたボット＝サメルセン双モジュールを定義する。
• ラベル付き平面上のグラフを用いて、$R \otimes_{R^J} R$ が生成する部分圏の図式的表現を構成する。
• $W$ のヘッケ代数の自明表現をカテゴライズする $R^J$-$R$-双モジュールの部分圏を定義する。
• 生成子と関係式がヘッケ代数に対応するラベル付き平面図形としてモルフィズムを表現する。
• 射影 $M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ と包含 $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$ を用いて、高次コクセター理論を応用して $M_x \circ M_y$ の合成を計算する。
• 任意の $W_J$ の長さ最大の元の簡約表現 $x = s_{i_1} \cdots s_{i_d}$ に対して、$R \otimes_{R^J} R$ が $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ の直和成分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $R$-双モジュールの図式的表現を単一の反転から、任意のパラボリック部分群 $W_J$ へと拡張できるか？
• RQ2 ヘッケ代数の自明表現をカテゴライズする $R^J$-$R$-双モジュールの部分圏の図式的構造は何か？
• RQ3 長さ最大の元 $W_J$ の簡約表現 $x,y$ に対して、$M_x \circ M_y$ はどのように明示的に計算できるか？
• RQ4 高次コクセター理論は、このカテゴライズド設定におけるモルフィズム合成の計算をどのように支援するか？
• RQ5 $R \otimes_{R^J} R$ が $M_x$ の直和成分として含まれることと、圏の図式的構造との関係は何か？

主な発見

• $R \otimes_{R^J} R$ が生成する $R$-双モジュールの部分圏は、ラベル付き平面上のグラフを用いた図式的表現を備える。
• ヘッケ代数の $W_J$ の自明表現の誘導によって得られる表現の図式的カテゴライゼーションが構成された。
• 長さ最大の元 $W_J$ の簡約表現 $x,y$ に対して、$M_x \circ M_y$ の合成は射影と包含写像を用いて計算された。
• $M_x \circ M_y$ の写像は、$M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ の射影と $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$ の包含を用いて明示的に実現された。
• この構成は、モルフィズム合成の構造を扱うためにマニンとシェフタマンの高次コクセター理論に依存している。
• 任意の $W_J$ の長さ最大の元の簡約表現に対して、$R$-双モジュール $R \otimes_{R^J} R$ が $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ の直和成分であることが示された。