[論文レビュー] A diagrammatic method to compute the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators

Xu Xiao, Jayameenakshi Venkatraman+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2023

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、駆動非線形振動子の有効ハミルトニアンを計算するための画期的な図式的手法を提案する。自己無撞着な位相空間摂動展開に基づき、各図式は位相的数え上げによって得られる係数を有するハミルトニアン項に対応する。これにより任意の次数まで自動計算が可能となり、$\hat{\hbar}\rightarrow0$ の極限において、従来のシュリフェル＝ウルフ法や古典的調和バランス法と整合性を保つ。

ABSTRACT

In this work, we present a new diagrammatic method for computing the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators. At the heart of our method is a self-consistent perturbation expansion developed in phase space, which establishes a direct correspondence between the diagram and algebra. Each diagram corresponds to a Hamiltonian term, the prefactor of which, like those in Feynman diagrams, involves a simple counting of topologically equivalent diagrams. Leveraging the algorithmic simplicity of our diagrammatic method, we provide a readily available computer program that generates the effective Hamiltonian to arbitrary order. We show the consistency of our schemes with existing perturbation methods such as the Schrieffer-Wolff method. Furthermore, we recover the classical harmonic balance scheme from our result in the limit of $\hbar ightarrow0$. Our method contributes to the understanding of dynamic control within quantum systems and achieves precision essential for advancing future quantum information processors. To demonstrate its value and versatility, we analyze five examples from the field of superconducting circuits. These include an experimental proposal for the Hamiltonian stabilization of a three-legged Schrödinger cat, modeling of energy renormalization phenomena in superconducting circuits experiments, a comprehensive characterization of multiphoton resonances in a driven transmon, a proposal for an inductively shunted transmon circuit, and a characterization of classical ultra-subharmonic bifurcation in driven oscillators. Lastly, we benchmark the performance of our method by comparing it with experimental data and exact Floquet numerical diagonalization.

研究の動機と目的

• 駆動非線形振動子の有効ハミルトニアンを量子系において体系的かつ図式的に計算するための手法を開発すること。
• 図式の位相構造とハミルトニアンの代数的項との間の明確な対応関係を確立し、摂動計算を簡略化すること。
• 任意の次数まで計算可能な、計算効率的で拡張可能なアルゴリズムを提供すること。
• 従来の手法（シュリフェル＝ウルフ変換や古典的調和バランス法）と、$\hat{\hbar}\rightarrow0$ の極限で整合性を保つこと。
• 超伝導回路モデルにおける実験データおよび正確なフロケ対角化とのベンチマークを通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、従来の時間順序やダイソン級数とは異なり、位相空間に直接定式化された自己無撞着な摂動展開を採用する。
• 各図式は有効ハミルトニアンの特定の項を表し、その係数は位相的に同値な図式の数え上げによって決定される。
• 図式の規則は位相空間における生成関数形式から導出され、寄与するすべての項を体系的に列挙可能である。
• 本手法は、任意の所望の次数まで有効ハミルトニアンを自動生成するコンピュータプログラムとして実装されている。
• 本手法は弱い結合極限において自然にシュリフェル＝ウルフ変換を回復し、$\hat{\hbar}\rightarrow0$ の極限では古典的調和バランス法に帰着する。
• 本形式は、多重光子共鳴や量子キャット状態の安定化を含む、5つの超伝導回路例用に適用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、位相空間において駆動非線形振動子の有効ハミルトニアンを体系的に計算する図式的手法を構築できるか？
• RQ2 このような系において、図式の位相構造とハミルトニアン項の係数との間の正確な代数的対応関係は何か？
• RQ3 本手法は、シュリフェル＝ウルフ法や古典的調和バランス法といった既存の摂動フレームワークと、どのようにして整合性を保っているか？
• RQ4 本手法は、摂動の任意の次数まで自動化およびスケーリング可能である程度はどの程度か？
• RQ5 超伝導回路における正確な数値的対角化および実験データとのベンチマークにおいて、本手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 本図式的手法は弱い結合極限においてシュリフェル＝ウルフ変換を正確に再現し、従来の量子摂動理論と整合していることを確認した。
• 古典的極限（$\hbar\rightarrow0$）において、本手法は調和バランス法を回復し、古典的対応関係の妥当性を裏付けた。
• 本手法は、専用のコンピュータプログラムを介して、有効ハミルトニアンの高次計算を自動化し、人的な導出作業を著しく削減した。
• 正確なフロケ対角化とのベンチマークにおいて、複数の超伝導回路モデルにおいてエネルギー準位のずれや共鳴構造において優れた一致を示した。
• 本手法は、エネルギー再正規化、多重光子共鳴、超準周期的分岐といった複雑な現象を正確にモデル化できた。
• 本手法は、設計されたハミルトニアン制御を用いた三本足のシュレーディンガーの猫状態の安定化といった実験的提案に対しても有効に機能した。