[論文レビュー] A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth

Franz J. Brandenburg, Dobler, Alexander+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、穴あり・穴なしを含む4マップグラフと1平面的グラフの間の一対一対応を確立し、交差拡張、完全三角形分割、最大1平面的グラフの各条件下で1平面的性の認識が多項式時間で行えることを証明している。それぞれの時間計算量はO(n^120)、O(n^3)、O(n^5)である。主な貢献は、1平面的グラフとマップグラフを結びつける新規な特徴付けと、構造的制約下での効率的認識アルゴリズムの開発である。

ABSTRACT

A drawing of a graph is 1-planar if each edge participates in at most one crossing and adjacent edges do not cross. Up to symmetry, each crossing in a 1-planar drawing belongs to one out of six possible crossing types, where a type characterizes the subgraph induced by the four vertices of the crossing edges. Each of the 63 possible nonempty subsets 𝒮 of crossing types gives a recognition problem: does a given graph admit an 𝒮-restricted drawing, that is, a 1-planar drawing where the crossing type of each crossing is in 𝒮? We show that there is a set 𝒮_bad with three crossing types and the following properties: - If 𝒮 contains no crossing type from 𝒮_bad, then the recognition of graphs that admit an 𝒮-restricted drawing is fixed-parameter tractable with respect to the treewidth of the input graph. - If 𝒮 contains any crossing type from 𝒮_bad, then it is NP-hard to decide whether a graph has an 𝒮-restricted drawing, even when considering graphs of constant pathwidth. We also extend this characterization of crossing types to 1-planar straight-line drawings and show the same complexity behaviour parameterized by treewidth.

研究の動機と目的

• 穴なしバージョンを含む、1平面的グラフと4マップグラフの間の一対一対応を確立すること。
• 最大性や三角形分割などの構造的制約下における1平面的グラフの認識複雑度を調査すること。
• 既存の1平面的回転系の認識アルゴリズムを交差拡張1平面的グラフに拡張すること。
• 特に多項式時間解法の可能性について、1平面的グラフおよびマップグラフの認識問題を解消すること。
• 最大または最適な1平面的グラフが弱同型を除いて一意的な埋め込みを持つかどうかを特定すること。

提案手法

• 4マップグラフを交差拡張1平面的グラフとして特徴付け、穴なし4マップグラフを完全三角形分割1平面的グラフとして特徴付ける。
• Chenら[18]による穴なし4マップグラフの認識アルゴリズムを活用し、完全三角形分割および最大1平面的グラフの時間計算量を導出する。
• Eadesら[23]による線形時間の1平面的回転系テストを、ブリッジベースのウォーク検出機構を介して交差拡張1平面的グラフに適応する。
• SPQR木分解を用いて、外1平面的および関連クラスにおける平面的最適性および最適性を線形時間でテストする。
• SPQR木構造を用いて、外1平面的性、交差拡張性、弱三角形分割性などの性質を検証する。
• 1平面的グラフにおける平面的最適性の問題を、SPQR分解による分離対における成分のチェックに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1平面的グラフは、4マップグラフまたは穴なし4マップグラフとして特徴付けられるか？
• RQ2 交差拡張、完全三角形分割、または最大性などの構造的制約下で、1平面的グラフの認識は多項式時間で解けるか？
• RQ3 Eadesらの1平面的回転系テストは、交差拡張1平面的グラフに一般化可能か？
• RQ4 最大または最適な1平面的グラフは、弱同型を除いて一意的な埋め込みを持つか？
• RQ5 ネストされた領域を含む一般化されたマップグラフの認識問題は、多項式時間で解けるか？

主な発見

• 1平面的グラフと4マップグラフ（一般および穴なしバージョンを含む）の間の一対一対応が確立された。
• 完全三角形分割1平面的グラフは穴なし4マップグラフと等価であり、その認識はO(n^3)時間で行える。
• 最大1平面的グラフは、Chenら[18]のアルゴリズムを用いてO(n^5)時間で認識可能である。
• 交差拡張1平面的グラフはO(n^120)時間で認識可能であり、穴なし4マップグラフ認識アルゴリズムの計算量と一致する。
• 交差拡張1平面的グラフの回転系の1平面的性を線形時間でテストするアルゴリズムが開発された。
• 外1平面的グラフおよび関連する性質（例：最大、最適）の認識は、SPQR木分解を用いて線形時間で可能である。