[論文レビュー] A Direct Approach to Noncrossed Product Division Algebras

Timo Hanke|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、中心的単純代数の自己同型を備えた中心的除法代数上での反復ねじれローレンツ級数環を用いて、非交差型除法代数の直接的構成を提示する。自己同型の拡張とねじれ多項式構成を適用することで、指数16、指数8の除法代数を構成し、それがいかなる交差積とも同型でないことを示した。これにより、ブラウアー群における非交差型除法代数の明示的例が得られた。

ABSTRACT

A valuation theoretic approach is presented that directly leads to division algebras that are noncrossed products (instead of, e.g., describing Brauer classes of noncrossed products in an abstract manner). While this feature is shared by Amitsur's original construction, the new approach works over small fields. It is further demonstrated how it can be used to obtain very explicit examples of noncrossed products in the form of iterated twisted function fields over division algebras over global fields. The examples allow even to write down structure constants of noncrossed products.

研究の動機と目的

• 有限次元中心的除法代数の明示的例を、交差積とは同型でないものとして構成すること。これは除法代数論における長年の未解決問題に応える。
• ねじれ多項式およびローレンツ級数環の理論を、正の特性をもつ体上での非交差型除法代数の構成に拡張すること。
• ブラウアー群が交差積によって生成されている場合でも、すべての中心的単純代数が交差積であるとは限らないことを示すこと。
• コhomological障害や存在定理に依存せずに、非交差型除法代数を直接的かつ構成的に生成する方法を確立すること。
• 反復ねじれローレンツ級数を用いて構成された特定の代数が、所望の指数と指数をもつ除法代数であることを示すこと。

提案手法

• 中心的除法代数 $ D $ に $ k $-代数自己同型 $ ilde{ au} $ を備えた、ねじれ乗法則を用いた twisted Laurent series ring $ D( egmedspace(x; ilde{ au}) egmedspace) $ を構成する。
• 新しい不定元 $ x_1, x_2, x_3 $ と自己同型 $ ilde{ au}_1, ilde{ au}_2, ilde{ au}_3 $ を逐次導入し、整合性と非可換性を保証する。
• $ D $ が除法代数で $ ilde{ au} $ が自己同型であるとき、 $ D(x; ilde{ au}) $ が除法環であるという事実を用い、ヒルベルトの構成を一般化する。
• 特性 $ p $ におけるアーティン＝シュライエル構成を用いて $ p $-拡大を構成し、 $ p $-代数 $ [a,b) $ を定義する。これらは次数 $ p $ の中心的除法代数である。
• サルトマンの $ p $-代数に関する補題を用い、除法代数が正規的極大部分体を含むならば、ガロア的極大部分体も含む必要があることを示し、部分体がガロア的でない場合に矛盾が生じることを導く。
• $ ilde{ au}_3 $ が $ ilde{ au}_1 $ と $ ilde{ au}_2 $ を反転させ、 $ eta = ilde{ au}_1(eta) $ に対して $ x_3 eta = -eta x_3 $ を満たすように定義することで、非交差型構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元中心的除法代数で、いかなる交差積とも同型でないものを作成できるか？
• RQ2 指数16、指数8の除法代数が交差積でないものとして存在するか？
• RQ3 反復ねじれローレンツ級数環を用いて非交差型除法代数を明示的に構成できるか？
• RQ4 除法代数が正規的極大部分体を含むとき、それがガロア的極大部分体を含む必要がある条件は何か？
• RQ5 $ p $-代数の構造をどのように用いて、正の特性における非交差型除法代数を構成できるか？

主な発見

• 代数 $ A(x_3; ilde{ au}_3) = D'(x_1,x_2; ilde{ au}'_1, ilde{ au}'_2; u')(x_3; ilde{ au}_3) $ は、指数16、指数8の除法代数である。
• この代数は、中心の上にガロア的であるが厳密に極大な部分体を含まないため、いかなる交差積とも同型でない。
• 明示的な生成元と関係式を備えた、特性が2または3でない体上の非交差型除法代数を構成した。
• 自己同型 $ ilde{ au}_3 $ は $ x_1 $ および $ x_2 $ に非自明に作用し、 $ eta = ilde{ au}_1(eta) $ に対して $ x_3 eta = -eta x_3 $ を満たすため、非交差型性が保証される。
• 証明はサルトマンの補題に依拠し、除法代数が正規的極大部分体を含むならば、ガロア的極大部分体も含む必要があることを示し、拡大がすでにガロア的でない限り矛盾が生じる。
• 最終的な代数が除法環であることは、ねじれローレンツ級数の構造と不定元および基本代数への自己同型の非自明な作用によって示された。