[論文レビュー] A direct approach to quasilinear parabolic equations on unbounded domains by Brézis's theory for subdifferential operators

Shunsuke Kurima, Tomomi Yokota|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非有界領域における準線形放物型方程式—特に多孔質媒体およびCahn–Hilliard型系—の解の存在および一意性を、Brézisの微分作用素理論を用いて確立する。コンパクト性を用いない直接的応用により、従来の結果を非有界領域へ拡張し、Cahn–Hilliard近似と元の方程式との間に $\varepsilon^{1/2}$ 階の誤差推定を証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with existence and uniqueness of solutions to two kinds of quasilinear parabolic equations. One is described as the form which includes the porous media and fast diffusion type equations. The other is the Cahn--Hilliard type system. The present paper applies Brézis theory directly to both equations and gives existence results for these two equations even if the domain is unbounded. Moreover, an error estimate is also proved via apriori estimates obtained directly.

研究の動機と目的

• コンパクト性に基づく手法が失敗する非有界領域における、Brézisの微分作用素理論を準線形放物型方程式へ拡張すること。
• 非有界領域 $\Omega$ における多孔質媒体型方程式 $\frac{\partial u}{\partial t} + (-\Delta+1)\beta(u) = g$ の解の存在および一意性を確立すること。
• 同じ理論を、非有界領域におけるCahn–Hilliard型系 $\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t} + (-\Delta+1)(\varepsilon(-\Delta+1)u_\varepsilon + \beta(u_\varepsilon) + \pi_\varepsilon(u_\varepsilon)) = g$ に直接適用すること。
• 近似系 $ (P)_\varepsilon $ と元の問題 $ (P) $ の間の誤差推定を導出し、収束速度 $ \varepsilon^{1/2} $ を示すこと。

提案手法

• Hilbert空間における $ u'(t) + \partial\psi(u(t)) \ni \tilde{f}(t) $ の形をした時間発展方程式に、Brézisの抽象的微分作用素理論を直接適用する。
• 非有界領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ における作用素 $ -\Delta + 1 $ を、ノイマン境界条件とともに用いる。
• 初期データ $ u_{0\varepsilon} $ を、解法 $ (I + \varepsilon(-\Delta+1))^{-1}u_0 $ を用いて構成し、適合条件を満たすようにする。
• $ \beta $ および $ \pi_\varepsilon $ における構造的条件（C1）、（C2）、（C4）、（C5）の検証—凸性、リプシッツ連続性、一様有界性を含む。
• 微分作用素フレームワークから得られる事前推定を用いて、コンパクト性の議論を用いないで収束性および誤差制御を証明する。
• $ \beta(u) = |u|^{q-1}u + u $（$ q > 0 $）を用いて、退化・非退化拡散の場合を含めた両ケースに理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brézisの微分作用素理論を、非有界領域における準線形放物型方程式に直接適用可能か？
• RQ2 Brézis理論の直接的適用により、非有界領域における多孔質媒体型方程式の解の存在および一意性が得られるか？
• RQ3 同じ枠組みを、非有界領域における $ \varepsilon $-正則化付きCahn–Hilliard型系へ拡張可能か？
• RQ4 非有界領域設定下で、$ \varepsilon $-正則化解の元の問題への収束速度はいかほどか？
• RQ5 コンパクト性の手法を用いないで、微分作用素構造から事前推定を直接導出可能か？

主な発見

• 非有界領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ における多孔質媒体型方程式 $ \frac{\partial u}{\partial t} + (-\Delta+1)\beta(u) = g $ の解の存在および一意性が確立された。
• 同様の結果が、非有界領域における $ \varepsilon $-正則化付きCahn–Hilliard型系に対しても拡張された。
• 近似系 $ (P)_\varepsilon $ の解と元の問題 $ (P) $ の解との間で、$ \varepsilon^{1/2} $ 階の誤差推定が証明され、有界領域におけるColliとFukaoの結果と一致する。
• 初期データ $ u_{0\varepsilon} $ は、$ |u_{0\varepsilon} - u_0|_{H^{-1}(\Omega)} \leq \varepsilon^{1/2}|u_0|_{L^2(\Omega)} $ を満たし、エネルギー空間における収束を保証する。
• コンパクト性の議論を回避したため、従来の手法が有界領域に制限されていたという制限を克服した。
• $ \beta(u) = |u|^{q-1}u + u $（$ q > 0 $）に対して、多孔質媒体（$ q > 1 $）および高速拡散（$ 0 < q < 1 $）の両ケースで結果が成り立つ。