[論文レビュー] A direct product theorem for bounded-round public-coin randomized communication complexity

Rahul Jain, Attila Pereszlényi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$k$ 個の関係のインスタンスを解く必要がある場合、資源が $k$ に対して非線形であるとき、$k$ 個のインスタンスを解くには、1つのインスタンスを解く通信量の $\tilde{\mathrm{O}}(k/t)$ 倍の通信量が必要であることを示す、有界ラウンドのパブリックコイン乱択通信複雑性における強い直接積定理を確立している。この結果は、情報理論的技法、メッセージ圧縮、相関サンプリングに依拠しており、1方向プロトコルに関する先行研究を一般の $t$ メッセージプロトコルへと拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we show a direct product theorm in the model of two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity. For a relation f subset of X times Y times Z (X,Y,Z are finite sets), let R^{(t), pub}_e (f) denote the two-party t-message public-coin communication complexity of f with worst case error e. We show that for any relation f and positive integer k: R^{(t), pub}_{1 - 2^{-Omega(k/t^2)}}(f^k) = Omega(k/t (R^{(t), pub}_{1/3}(f) - O(t^2))) . In particular, it implies a strong direct product theorem for the two-party constant-message public-coin randomized communication complexity of all relations f. Our result for example implies a strong direct product theorem for the pointer chasing problem. This problem has been well studied for understanding round v/s communication trade-offs in both classical and quantum communication protocols. We show our result using information theoretic arguments. Our arguments and techniques build on the ones used in [Jain 2011], where a strong direct product theorem for the two-party one-way public-coin communication complexity of all relations is shown (that is the special case of our result when t=1). One key tool used in our work and also in [Jain 2011] is a message compression technique due to [Braverman and Rao 2011], who used it to show a direct sum theorem for the two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity of all relations. Another important tool that we use is a correlated sampling protocol, which for example, has been used in [Holenstein 2007] for proving a parallel repetition theorem for two-prover games.

研究の動機と目的

• 有界ラウンドパブリックコイン乱択通信複雑性モデルにおいて強い直接積定理を確立すること。
• 資源が $k$ に対して非線形であるとき、関係の $k$ 個の独立したインスタンスを解くには、1つのインスタンスを解く通信量の $\Omega(k/t)$ 倍の通信量が必要であることを示すこと。
• 情報理論的ツールを用いて、1方向プロトコルに関する先行の直接積定理を一般の $t$ メッセージプロトコルへと拡張すること。
• ポインターチェージのようなプロトコルにおけるラウンド対通信量のトレードオフに関する未解決の問題を解明すること。

提案手法

• 有界ラウンド $t$ メッセージプロトコルにおける入力とメッセージ間の相互情報量を制限するために、情報理論的議論を用いる。
• BravermanとRaoが開発したメッセージ圧縮技術を応用して、通信量を削減したプロトコルのシミュレーションを行う。
• 共有ランダムネスをシミュレートし、複数インスタンス設定における誤差を制限するために、相関サンプリングプロトコルを用いる。
• マルチインスタンスプロトコルの構造を単一インスタンスプロトコルに関連付けるために、新規な埋め込み議論を用いる。
• ハイブリッド議論と誤差解析を用いて、通信量が最適でないプロトコルが $k$ 個のインスタンスにおいて指数的に小さい成功確率で失敗することを示す。
• これらのツールを統合し、$\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f)$ を用いて $f^k$ の通信複雑性の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $t > 1$ であっても、$t$ メッセージパブリックコイン通信プロトコルに対して強い直接積定理を証明できるか？
• RQ2 資源が $k$ に対して非線形であるとき、関係の $k$ 個の並列インスタンスの通信複雑性は $k$ に線形にスケーリングするか？
• RQ3 誤差項における $t$ 依存性を $O(t^2)$ よりも改善できるか？
• RQ4 1方向プロトコルに用いられた技法を一般の有界ラウンドプロトコルへと拡張できるか？
• RQ5 ポインターチェージ問題は、有界ラウンドパブリックコインモデルにおいて強い直接積定理を満たすか？

主な発見

• 論文は、$\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1-2^{-\Omega(k/t^{2})}}(f^{k}) = \Omega\left(\frac{k}{t} \cdot \left(\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f) - \mathcal{O}(t^{2})\right)\right)$ を証明し、強い直接積定理を確立している。
• この結果は、1つのインスタンスを解く通信量の $k/t$ 倍未満の通信量で $k$ 個のインスタンスを解くと、成功確率が $k$ に対して指数的に小さくなることを示唆している。
• 直接積定理における誤差パラメータは $k/t^2$ に依存しており、インスタンス数と許容される誤差の間のトレードオフを示している。
• ポインターチェージ問題は、有界ラウンドパブリックコインモデルにおいて強い直接積定理を満たしている。
• メッセージ圧縮と相関サンプリングを用いることで、Jainの1方向結果を一般化した手法により、マルチラウンドプロトコルを扱えるようにしている。
• 解析により、通信量が最適でない任意のプロトコルは、1インスタンスあたりの誤差が定数であっても、$k$ 個すべてのインスタンスを正しく計算する確率が非常に低いことが示されている。