[論文レビュー] A Direct Ultrametric Approach to Additive Complexity and the Shub-Smale Tau Conjecture

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は p-進解析を用いた新しい超距離的アプローチを提示し、加法的複雑度 $ s $ を持つ1変数多項式が $ \mathbb{Q}_2 $ に高々 $ O(e^{s\log s}) $ 個の根を持つことを証明する。これは従来の境界よりも顕著に改善されたものである。本稿はシューブ＝スモールの $ \tau $-予想の弱い形を確立し、任意の素数 $ p $ に対して $ p $-進数の桁数に関する予想が真であれば $ \mathbf{P}_{\mathbb{C}} \neq \mathbf{NP}_{\mathbb{C}} $ が成り立つことを示し、BSSモデルにおける $ \mathbf{P} \stackrel{?}{=} \mathbf{NP} $ 問題を数論的経路で進展させる。

ABSTRACT

The Shub-Smale Tau Conjecture is a hypothesis relating the number of integral roots of a polynomial f in one variable and the Straight-Line Program (SLP) complexity of f. A consequence of the truth of this conjecture is that, for the Blum-Shub-Smale model over the complex numbers, P differs from NP. We prove two weak versions of the Tau Conjecture and in so doing show that the Tau Conjecture follows from an even more plausible hypothesis. Our results follow from a new p-adic analogue of earlier work relating real algebraic geometry to additive complexity. For instance, we can show that a nonzero univariate polynomial of additive complexity s can have no more than 15+s^3(s+1)(7.5)^s s! =O(e^{s\log s}) roots in the 2-adic rational numbers Q_2, thus dramatically improving an earlier result of the author. This immediately implies the same bound on the number of ordinary rational roots, whereas the best previous upper bound via earlier techniques from real algebraic geometry was a quantity in Omega((22.6)^{s^2}). This paper presents another step in the author's program of establishing an algorithmic arithmetic version of fewnomial theory.

研究の動機と目的

• 超距離的手法を用いて多項式の有理根の数に対するより鋭い上界を確立すること。
• $ p $-進解析を用いてシューブ＝スモール $ \tau $-予想の弱い形を証明することで、その証拠を提供すること。
• 数論的仮定を通じて加法的複雑度と $ \mathbf{P}_{\mathbb{C}} \neq \mathbf{NP}_{\mathbb{C}} $ 予想を結びつけること。
• $ p $-進幾何学を用いて、少数項理論のアルゴリズム的算術的バージョンを構築すること。

提案手法

• $ p $-進付値と超距離的幾何学を用いて、 $ \mathbb{Q}_p $ 上の多項式の根分布を分析する。
• $ p $-進複素数少数項定理を適用し、 $ \mathbb{C}_p^{s+1} $ 内の幾何的に分離された根の数を制限する。
• 加法的複雑度 $ \sigma_R(f) $ を、環 $ R $ 上でのネストされた和と積による $ f $ の表現に必要な演算の最小数として定義する。
• SLP表現から導かれる多項方程式系の孤立解の数を数える問題に根の数を還元する。
• スケーリングと付値制約を用いて、根の位置を半径 $ 1/p^r $ の $ p $-進球内に制限する。
• 単項式構造に関する組合せ的境界を用いて、可能な根配置の数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューブ＝スモール $ \tau $-予想は、実代数幾何学の $ p $-進的類似を用いて到達可能か？
• RQ2 加法的複雑度 $ s $ を持つ1変数多項式が $ \mathbb{Q}_2 $ に持てる有理根の最大数は何か？
• RQ3 任意の素数 $ p $ に対して $ p $-進数の桁数に関する予想が真であれば、 $ \mathbf{P}_{\mathbb{C}} \neq \mathbf{NP}_{\mathbb{C}} $ が成り立つか？
• RQ4 超距離的手法を用いて加法的複雑度を制限することで、古典的少数項理論よりもタイトな根の数の推定が可能か？
• RQ5 直線プログラムの構造は、 $ p $-進体における根の分布とどのように関係するか？

主な発見

• 加法的複雑度 $ s $ を持つ非ゼロの1変数多項式は、 $ \mathbb{Q}_2 $ に高々 $ 1 + s^3(s+1)(7.5)^s s! = O(e^{s\log s}) $ 個の根を持つ。これは従来の $ \Omega((22.6)^{s^2}) $ の境界よりも顕著に改善されたものである。
• 同じ境界は通常の有理根に対しても適用可能であり、整数根の数に対する新たな、顕著にタイトな上界を提供する。
• 任意の固定された素数 $ p $ に対して $ p $-進数の桁数に関する予想が真であれば、 $ \mathbf{P}_{\mathbb{C}} \neq \mathbf{NP}_{\mathbb{C}} $ が成り立ち、したがって完全な $ \tau $-予想も成り立つ。
• $ |x - 1|_p \leq 1/p^r $ を満たす $ p $-進根の数は、少数項型の境界によって根の重複度を制御する関数 $ C_p(k,1,r) $ を含む関数によって上から抑えられる。
• 証明により $ N_p(s) \geq s $ が示され、加法的複雑度 $ s $ が少なくとも $ s $ 個の異なる $ p $-進付値の根をサポートできることを示している。
• この手法により、SLP複雑度と $ \mathbb{C}_p^{s+1} $ 内の根の幾何学との間の構成的リンクが得られ、商環の同型 $ \mathbb{C}_p[x]/\langle f \rangle \cong \mathbb{C}_p[X_1,\ldots,X_{s+1}]/\langle G \rangle $ を通じて実現される。