[論文レビュー] A discontinuous Galerkin method for strain gradient-dependent damage: Study of interpolations, convergence and two dimensional problems

Luisa Molari, Wells, G. N.+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2004

Numerical methods in engineering参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、C⁰連続補間関数を用いることでC¹要素の必要性を回避する、ひずみ勾配依存損傷モデルに対する不連続ガレルキン（DG）法を提示する。これにより実装が簡素化され、計算コストも低減される。本手法は最適な収束率を示し、多項式次数にかかわらず安定した性能を発揮し、2次元問題への応用にも成功しており、軟化損傷シミュレーションにおけるメッシュ依存性を効果的に排除する。

ABSTRACT

A discontinuous Galerkin method has been developed for strain gradient-dependent damage. The strength of this method lies in the fact that it allows the use of $C^0$ interpolation functions for continuum theories involving higher-order derivatives, while in a conventional framework at least $C^1$ interpolations are required. The discontinuous Galerkin formulation thereby offers significant potential for engineering computations with strain gradient-dependent models. When using basis functions with a low degree of continuity, jump conditions arise at element edges which are incorporated in the weak form. In addition to the formulation itself, a detailed study of the convergence properties of the method for various element types is presented, an error analysis is undertaken, and the method is also shown to work in two dimensions.

研究の動機と目的

• ひずみ軟化損傷モデルにおけるメッシュ依存性の問題を、ひずみ勾配項による正則化を用いて解決すること。
• ひずみ勾配モデルにおける高階偏微分方程式に伴うC¹連続有限要素の計算負荷を克服すること。
• 変位およびひずみ類似場の両方に対してC⁰または不連続補間を用いた、数値的に安定かつ効率的な有限要素式を構築すること。
• 1次元および2次元問題において、さまざまな要素タイプおよび多項式次数におけるDG式の収束性と頑健性を実証すること。
• 3点曲げ試験を含むベンチマーク問題における手法の妥当性を検証し、勾配正則化を用いることでメッシュ独立な損傷局在化を実現すること。

提案手法

• 高階導関数の不連続性に対処するため、要素界面におけるジャンプ項を含む不連続ガレルキン弱形式を定式化する。
• 変位にはC⁰連続形状関数を、ひずみ類似場には追加の自由度を導入し、要素間で不連続な補間を可能にする。
• 非標準的境界条件（特に勾配依存項）を弱く強制するため、弱形式にペナルティ項を導入する。
• 損傷進化が長さスケールパラメータ（c）によって正則化されるひずみ勾配損傷モデルに本手法を適用する。
• 非線形系のニュートン・ラプソン解法を可能にするために、弱形式に対する一貫した線形化スキームを実装する。
• 線形化の簡素化のため、等効ひずみ（ひずみテンソルのトレース）の定義を一貫して用いるが、物理的根拠は持たない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C⁰補間を用いた不連続ガレルキン式は、従来C¹連続性を要するひずみ勾配依存損傷問題を効果的に解けるか？
• RQ2 1次元ひずみ勾配損傷問題において、さまざまな要素タイプおよび多項式次数におけるDG法の収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 2次元問題において、本手法はメッシュ独立な損傷局在化をいかに正しく捉えられるか？
• RQ4 パラメータcによる勾配正則化を導入することで、軟化損傷シミュレーションにおけるメッシュ依存性はどの程度解消されるか？
• RQ5 3点曲げ試験において、勾配効果あり・なしの両状況下で、粗いメッシュと細かいメッシュの数値結果はどのように比較されるか？

主な発見

• 弾性問題において、本手法は理論的予測と整合する最適な収束率を達成しており、解析的および数値的両面から確認された。
• 損傷問題においては、理論的収束率が明示的に確立されていないものの、収束挙動が頑健であることが示された。
• P²/P¹やP¹/P⁰などの異なる要素タイプで計算された損傷プロファイルはほぼ同一であり、要素選択に依存しないこと、および式の頑健性が裏付けられた。
• 3点曲げ試験において、勾配依存ケース（c ≠ 0）では、粗いメッシュと細かいメッシュの両方で損傷の分布および荷重-変位曲線がメッシュ依存性を示さず、一貫性を示した。
• これに対して、非勾配ケース（c = 0）ではメッシュ依存性が顕著であり、細かいメッシュでは不自然な二次亀列が発生したが、競合する亀列パターンの影響により、荷重-変位曲線は類似した結果となった。
• ペナルティ項を用いることで、非標準的境界条件を効果的に扱うことができ、特に2次変位補間を用いる場合、非標準的境界条件は構成上満たされた。