[論文レビュー] A discontinuous Galerkin multiscale method for convection-diffusion problems

Daniel Elfverson|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非常に不均質で粗い係数を有する対流拡散問題に対して、不連続ガレルキン局所直交分解多スケール法を提案する。局所的領域のサイズ $\mathcal{O}(H\log(H^{-1}))$ において対流項を補正基底関数の計算に組み込むことで、係数の変動に依存しない収束率が達成され、特に対流支配領域でも成立する。数値実験によりその有効性が検証された。

ABSTRACT

We propose an discontinuous Galerkin local orthogonal decomposition multiscale method for convection-diffusion problems with rough, heterogeneous, and highly varying coefficients. The properties of the multiscale method and the discontinuous Galerkin method allows us to better cope with multiscale features as well as interior/boundary layers in the solution. In the proposed method the trail and test spaces are spanned by a corrected basis computed on localized patches of size $\mathcal{O}(H\log(H^{-1}))$, where $H$ is the mesh size. We prove convergence rates independent of the variation in the coefficients and present numerical experiments which verify the analytical findings.

研究の動機と目的

• 非常に不均質で粗く、急激に変化する係数を有する対流拡散問題を解く課題に対処すること。
• 多スケール特徴および境界層・内部層を解像できない古典的有限要素法の限界を克服すること。
• スケール分離や周期性を仮定しないまま、強い対流下でも安定かつ収束する多スケール法を開発すること。
• 対流項を基底関数補正プロセスに統合することで、対流支配領域における安定性を向上させること。
• 係数の変動に依存しない収束率を確立し、多様な多スケール設定においてロバストな性能を確保すること。

提案手法

• 粗い拡散係数および発散なしの対流係数を有する対流拡散問題に対して、不連続ガレルキン（DG）変分式を定式化する。
• 解空間を粗いスケールと細かいスケールに分解するため、局所直交分解（LOD）フレームワークを適用する。
• 拡散項と対流項の両方を含む構成を行う、局所的領域のサイズ $\mathcal{O}(H\log(H^{-1}))$ の補正基底関数を構築する。
• 同じ補正基底関数から導かれる試験関数を用いたペトロフ・ガレルキンアプローチにより、手法を安定化する。
• 固有値問題の解法や大きなパッチサポートを回避し、線形計算複雑性を維持する。
• 対流の大きさに関する仮定の下で、係数の変動に依存しないエネルギーノルムにおける収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール分離を要せず、非周期的で粗い係数を有する対流拡散問題に対しても安定かつ収束する不連続ガレルキン多スケール法を構築できるか？
• RQ2 基底関数補正に対流項を組み込むことで、標準LODと比較して対流支配領域における安定性がどのように向上するか？
• RQ3 係数の変動に依存しない収束を保証するための補正基底関数の最適なパッチサイズは何か？
• RQ4 収束率がスペクトル条件数 $C_A = (\beta/\alpha)^{1/2}$ に依存しないかを満たすか？
• RQ5 標準的な有限要素法およびLOD法と比較して、本手法は多スケール対流拡散問題においてどのように数値的に性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたDG-LOD法は、拡散係数および対流係数の変動に依存しないエネルギーノルムにおける収束率を達成する。
• 基底関数補正に対流項を組み込むことで、標準LODが失敗する強力な対流下でも安定性と収束性が保証される。
• 局所的パッチサイズ $\mathcal{O}(H\log(H^{-1}))$ を用いることで、スケール分離や周期性を仮定せず、線形計算複雑性を実現する。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、さまざまな多スケール係数設定においてロバストな性能を示す。
• 誤差見積もりにより、残差における細かいスケール成分の指数的減衰が示され、その率はパッチサイズおよび対流の大きさに依存する。
• 再帰的減衰推定による証明により、係数の変動に依存しない定数を有するエネルギーノルムにおける最適収束次数を維持する。