[論文レビュー] A discrete analogue of periodic delta Bose gas and affine Hecke algebra

Yoshihiro Takeyama|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アフィンヘッケ代数の表現を実現する積分・反映作用素を用いて構成された、格子上の周期的デルタボーズガスハミルトニアンの2パラメータ離散類似物を導入する。半ラプラシアンの固有関数と全ハミルトニアンの固有関数を結ぶ伝播作用素を確立し、バーティ ansatz を用いて対称的かつ周期的な固有関数（バーティ波動関数）を構成する。特殊な場合 α=0 では、これらはハル＝リトルウッド多項式の特殊化に還元される。

ABSTRACT

We consider an eigenvalue problem for a discrete analogue of the Hamiltonian of the non-ideal Bose gas with delta-potentials on a circle. It is a two-parameter deformation of the discrete Hamiltonian for joint moments of the partition function of the O'Connell-Yor semi-discrete polymer. We construct the propagation operator by using integral-reflection operators, which give a representation of the affine Hecke algebra. We also construct eigenfunctions by means of the Bethe ansatz method.

研究の動機と目的

• 格子上における周期的デルタボーズガスハミルトニアンの離散的2パラメータ変形を構築すること。
• アフィンヘッケ代数の表現を実現する積分・反映作用素を用いて伝播作用素を構成すること。
• バーティアンザット法を用いてハミルトニアンの固有値問題を解くこと。
• 固有関数が既知の特殊関数（特にハル＝リトルウッド多項式）に還元される条件を特定すること。
• 可積分確率モデルとアフィンヘッケ代数などの代数的構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• ハミルトニアン H は、シフト作用素 t_{v_i} とアフィン根系の条件を数える関数 d_i^± を用いて、整数格子 X = ⊕ℤv_i 上で定義される。
• 分岐関係を満たす差分作用素から構成される積分・反映作用素 Q_i が、アフィンヘッケ代数の表現をなす。
• G は、∑t_{v_i} の固有関数を H の同じ固有値を持つ固有関数へ写像する伝播作用素として定義される。
• バーティアンザット法を用いて、スピンパラメータ p_i に関する代数方程式系を解くことで、対称的かつ周期的な固有関数（バーティ波動関数）を構成する。
• 特に、シフト作用素と積分・反映作用素の交換関係、特に t_{v_j+1}Q_j = Q_j t_{v_j} + α + (1−β)t_{v_j+1} に依存する。
• α=0 の場合、変数の特殊化により固有関数がハル＝リトルウッド多項式の積として表現可能であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの変形パラメータを有する周期的デルタボーズガスハミルトニアンの離散類似物をどのように定式化できるか？
• RQ2 半ラプラシアンの固有関数と全ハミルトニアンの固有関数を結ぶ伝播作用素の背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 離散ハミルトニアンの固有関数は、ハル＝リトルウッド多項式などの既知の特殊関数とどのように関係するか？
• RQ4 積分・反映作用素は、この離散的設定においてアフィンヘッケ代数の表現を実現するためにどのように機能するか？
• RQ5 バーティアンザットが、格子上のハミルトニアンに対して対称的かつ周期的な固有関数をもたらす条件は何か？

主な発見

• 伝播作用素 G は、∑_{i=1}^k t_{v_i} の固有関数を H の同じ固有値を持つ固有関数へ写像し、単純なハミルトニアンと全ハミルトニアンとの間の重要な接続を確立する。
• バーティアンザットにより構成された固有関数は、拡張されたワイル群 Ŵ の作用に関して対称的かつ周期的であり、周期的境界条件と整合する。
• α=0 の場合、バーティ波動関数 h_p(x) は、Δ(p)R_ε(x)(p₁⁻¹,…,p_k⁻¹;β) の式を通じてハル＝リトルウッド多項式に比例することが示される。
• スピンパラメータ p_i に関する代数方程式系 (6.1) により、バーティ波動関数がハミルトニアン H の固有関数であり、固有値 ∑_{i=1}^k p_i を持つことが保証される。
• 積分・反映作用素 Q_i は、GL_k 型のアフィンヘッケ代数の表現を提供し、以前の多項式表現からの一般化を実現する。
• アフィンワイル群の作用に関して一貫性があり、G(f)(πx) = G(f)(x) が成り立つため、得られる固有関数は周期的である。