[論文レビュー] A discrete data assimilation scheme for the solutions of the 2D Navier-Stokes equations and their statistics

Ciprian Foiaş, Cecilia F. Mondaini+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、ノイズを含む時刻離散的測定値をnudgingに基づくフィードバック制御を用いて組み込む2次元ナビエ＝ストークス方程式の離散的データ同調化スキームを提案する。nudgingパラメータ、メッシュサイズ、時間刻みの条件下で、測定誤差に依存する項を除き、近似解が真の解へ指数的収束することを確立する。

ABSTRACT

We adapt a previously introduced continuous in time data assimilation (downscaling) algorithm for the 2D Navier-Stokes equations to the more realistic case when the measurements are obtained discretely in time and may be contaminated by systematic errors. Our algorithm is designed to work with a general class of observables, such as low Fourier modes and local spatial averages over finite volume elements. Under suitable conditions on the relaxation (nudging) parameter, the spatial mesh resolution and the time step between successive measurements, we obtain an asymptotic in time estimate of the difference between the approximating solution and the unknown reference solution corresponding to the measurements, in an appropriate norm, which shows exponential convergence up to a term which depends on the size of the errors. A stationary statistical analysis of our discrete data assimilation algorithm is also provided.

研究の動機と目的

• 離散時刻、誤差を含む測定値を用いた2次元ナビエ＝ストークス方程式の実用的データ同調化スキームの開発。
• 連続時刻nudgingアルゴリズムを現実的で時刻離散的設定に拡張し、観測誤差を考慮する。
• 一般の補間作用素を用いた真の解への近似解の収束を分析する。
• 離散的データ同調化アルゴリズムの定常的統計的解析を提供し、不変測度の収束を含む。
• 測定誤差、メッシュ解像度、時間刻みの観点から、解近似の誤差を定量化する。

提案手法

• 近似解の粗い空間スケールが基準解のそれへ向かうように、ナビエ＝ストークス方程式にフィードバック制御（nudging）項を導入する。
• 有限体積要素上の局所的空間平均を用いて定義される補間作用素 $ I_h $ を介して離散的測定値を組み込む。
• 測定誤差を有界なベクトル $ \varepsilon_{n,j} $ としてモデル化し、$ |\varepsilon_{n,j}| \leq \varepsilon $ を満たし、その解の誤差への影響を分析する。
• 基底関数 $ \psi_j $ を用いた速度場の有限次元射影を採用し、$ I_h(\varphi) = \sum \overline{\varphi}_j \psi_j $ と定義する。ここで $ \overline{\varphi}_j $ は局所平均を表す。
• エネルギー推定と補間性質を用いて、真の解と近似解の差に対する $ L^2 $ および $ H^1 $ ノルムの誤差推定を導出する。
• 緩和パラメータ $ \beta $、メッシュサイズ $ h $、時間刻み $ \Delta t $ の条件下で収束結果を確立し、$ \varepsilon / h $ に比例する項を除き指数的収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズを含む測定値を用いた離散的時刻データ同調化スキームは、2次元ナビエ＝ストークス方程式の真の解へ指数的収束を達成できるか？
• RQ2 測定誤差と時刻離散化は、nudgingに基づくデータ同調化フレームワークにおける近似解の精度にどのように影響するか？
• RQ3 nudgingパラメータ、メッシュサイズ、時間刻みにどのような条件を課すことで、離散的同調化スキームの安定性と収束性が保証されるか？
• RQ4 離散的データ同調化スキームは、真の系の統計的性質、例えば不変測度を保持するか？
• RQ5 解近似の誤差は、測定誤差と空間解像度の観点から有界にできるか？

主な発見

• 近似解は、$ \varepsilon $ を最大測定誤差、$ h $ をメッシュサイズとして、$ H^1 $ ノルムにおいて $ \varepsilon / h $ に比例する項を除き、指数的収束を示す。
• $ L^2 $ ノルムにおける誤差境界は $ |\eta_n|_{L^2} \leq \varepsilon |\Omega|^{1/2} $、$ H^1 $ ノルムでは $ \|\eta_n\|_{H^1} \leq c \frac{\varepsilon}{h} |\Omega|^{1/2} $ で、$ c = C_0(2C_1)^{1/2} $ を満たす。
• エネルギー推定から導かれた条件を満たす限り、緩和パラメータ $ \beta $、メッシュサイズ $ h $、時間刻み $ \Delta t $ の条件下で指数的収束が達成される。
• 定常的統計的解析により、適切な条件下で離散的同調化スキームの不変測度が真の系の不変測度へ収束することが示された。
• 本スキームは測定値の系統的誤差に対してロバストであり、低次のフーリエモードや局所的空間平均を含む一般の補間作用素に対しても適用可能である。
• 局所平均と区分的定数基底関数に基づく一貫性のある補間作用素 $ I_h $ の構築により、理論的誤差境界が検証された。