[論文レビュー] A Discrete Morse Theory for Hypergraphs

Shiquan Ren, Chong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単体複体から超グラフへ離散モース理論を拡張し、超辺上で離散モース関数を定義し、関連する単体複体内の臨界単体から部分チェーン複体を構成する。超グラフの埋め込みホモロジーがこれらの部分複体と同型であることを証明し、フォーマンの元来の結果を一般化し、超グラフにおけるモース不等式および崩壊定理を確立する。

ABSTRACT

A hypergraph can be obtained from a simplicial complex by deleting some non-maximal simplices. By [11], a hypergraph gives an associated simplicial complex. By [4], the embedded homology of a hypergraph is the homology of the infimum chain complex, or equivalently, the homology of the supremum chain complex. In this paper, we generalize the discrete Morse theory for simplicial complexes by R. Forman [5-7] and give a discrete Morse theory for hypergraphs. We use the critical simplices of the associated simplicial complex to construct a sub-chain complex of the infimum chain complex and a sub-chain complex of the supremum chain complex, then prove that the embedded homology of a hypergraph is isomorphic to the homology of the constructed chain complexes. Moreover, we define discrete Morse functions on hypergraphs and compute the embedded homology in terms of the critical hyperedges. As by-products, we derive some Morse inequalities and collapse results for hypergraphs.

研究の動機と目的

• 元来単体複体に対して開発された離散モース理論を、超グラフの文脈へ一般化すること。
• 超辺上で離散モース関数を定義し、関連する単体複体内の臨界単体と関連付けること。
• 臨界単体から生成される部分チェーン複体を構成し、超グラフの埋め込みホモロジーを計算すること。
• 古典的離散モース理論におけるものと類似する、超グラフにおけるモース不等式および崩壊結果を確立すること。
• 超グラフの埋め込みホモロジーが、適切な不変性条件の下で臨界単体によって生成されるチェーン複体のホモロジーと同型であることを証明すること。

提案手法

• 超グラフ $ \nH $ の超辺上で離散モース関数 $ f $ を定義し、それを関連する単体複体 $ \Delta\mathcal{H} $ に拡張する。
• 関連する単体複体 $ \Delta\mathcal{H} $ を用いて、超グラフ $ \mathcal{H} $ の下界および上界のチェーン複体を定義し、これらが埋め込みホモロジーを計算することを示す。
• モース関数 $ \overline{f} $ によって誘導される離散勾配ベクトル場を用いて、$ \Delta\mathcal{H} $ 内の臨界単体を特定する。
• 臨界単体と下界チェーン複体の共通部分から部分チェーン複体を構成し、そのホモロジーが $ H_*(\mathcal{H}; R) $ と同型であることを証明する。
• レベル超グラフ $ \mathcal{H}[c] $ を $ f(\sigma) \leq c $ を満たす超辺の和集合として定義し、関連する単体複体におけるレベル集合と関連付ける。
• フォーマン理論からの崩壊結果と、勾配ベクトル場によるチェーン複体の不変性を用いて、レベル超グラフにおける崩壊およびホモトピー同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超グラフは単体の面構造を持たないため、単体複体から超グラフへ離散モース理論を拡張することは可能か？
• RQ2 超辺上の離散モース関数をどのように用いて、超グラフのホモロジーを制御する臨界要素を定義できるか？
• RQ3 超グラフの埋め込みホモロジーが、臨界単体によって生成されるチェーン複体のホモロジーと同型となる条件は何か？
• RQ4 古典的モース不等式および崩壊定理の類似は、超グラフの文脈でどのような形で成立するか？
• RQ5 レベル超グラフ $ \mathcal{H}[c] $ はモース理論的崩壊においてどのように振る舞い、いつ変形収縮するか？

主な発見

• 超グラフの埋め込みホモロジー $ H_*(\mathcal{H}; R) $ は、下界チェーン複体と臨界単体の共通部分からなるチェーン複体のホモロジーと同型である。
• 勾配ベクトル場が両方の複体を不変に保つ限り、上界チェーン複体を用いても同様の同型が成り立つ。
• 本論文は、超グラフにおけるモース不等式を確立し、単体複体からの古典的不等式を一般化した。
• 崩壊定理が証明された：$ a < b $ で、区間 $[a,b]$ に臨界値がなく、差 $ \mathcal{H}[b] \setminus \mathcal{H}[a] $ が関連する単体複体の差と一致する場合、$ \mathcal{H}[b] \searrow \mathcal{H}[a] $ が基本的崩壊によって成立する。
• 適切な条件下で、レベル超グラフ $ \mathcal{H}[c] $ は関連する単体複体のレベル集合 $ \Delta\mathcal{H}[c] $ とホモトピー同値であることが示された。
• 構成は埋め込み単体複体 $ \mathcal{K} $ の選択に依存せず、最小の関連複体 $ \Delta\mathcal{H} $ のみに依存する。