[論文レビュー] A discrete Schrodinger equation via optimal transport on graphs

Shui-Nee Chow, Wuchen Li+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、離散的最適輸送とネルソンの確率力学的手法を用いて、有限グラフ上での新しい離散的非線形シュレーディンガー方程式を導出する。系を非線形グラフラプラシアンと離散的フィッシャー情報量を用いたハミルトニアンODEとして定式化することで、質量、エネルギー、基底状態構造を保存する。これは、標準的な離散化手法に代わる幾何学的で構造保存型の代替手法を提供する。

ABSTRACT

In 1966, Edward Nelson presented an interesting derivation of the Schrodinger equation using Brownian motion. Recently, this derivation is linked to the theory of optimal transport, which shows that the Schrodinger equation is a Hamiltonian system on the probability density manifold equipped with the Wasserstein metric. In this paper, we consider similar matters on a finite graph. By using discrete optimal transport and its corresponding Nelson's approach, we derive a discrete Schrodinger equation on a finite graph. The proposed system is quite different from the commonly referred discretized Schrodinger equations. It is a system of nonlinear ordinary differential equations (ODEs) with many desirable properties. Several numerical examples are presented to illustrate the properties.

研究の動機と目的

• 最適輸送理論を用いて、有限グラフ上での幾何的・構造保存型の離散的非線形シュレーディンガー方程式を構築すること。
• 連続的NLSにおける保存則と対称性を破る標準的離散化手法の限界を克服すること。
• 有限グラフ設定において、ネルソンのシュレーディンガー方程式の確率的導出の離散的類似物を確立すること。
• ハミルトニアン行列形式を用いて、離散系の基底状態およびスペクトル安定性を定義・分析すること。
• 提案された系が全質量および全エネルギーを保存し、h→0のとき連続極限と一致することを示すこと。

提案手法

• ベンアモ＝ブレニエフレームワークを用いて、重み付き無向グラフ上での離散的最適輸送を Wasserstein 距離を介して形式化する。
• 確率単体上での変分原理を用いて、グラフノード上の確率密度 ρ_j と位相 S_j に対する非線形ODE系を導出する。
• 離散的フィッシャー情報項 ℐ(ρ) = ½∑_{(j,l)∈E} ω_jl (log ρ_j − log ρ_l)² g_jl(ρ) を導入し、g_jl(ρ) = (ρ_j + ρ_l)/2 とする。
• エネルギー関数のヘッセ行列とシンプレクティック構造を用いて、シンプレクティック行列 H^(2) を構築するハミルトニアン系を構成する。
• 複素波動関数 Ψ_j = √ρ_j e^{iS_j/h} を再構成し、グラフ上での離散的NLSを定義する。
• ハミルトニアン行列 H^(2) = [0, (1/n)L; −αI − (nh²/4)L, 0] の固有値を計算することで、基底状態のスペクトル安定性を分析し、グラフラプラシアン固有値と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネルソンのシュレーディンガー方程式の確率的導出を、離散的最適輸送を用いて有限グラフに拡張できるか？
• RQ2 得られた離散的NLSが、質量保存・エネルギー保存といった基本的物理的性質を保持するか？
• RQ3 離散的フィッシャー情報量および非線形グラフラプラシアンが、系の構造と安定性に与える影響は何か？
• RQ4 プランク定数 h→0 のとき、基底状態の挙動はどのように変化し、δ関数測度に収束するか？
• RQ5 グラフラプラシアンから構築されたシンプレクティックハミルトニアン行列を用いて、基底状態のスペクトル安定性を分析できるか？

主な発見

• 導出された系 (3) はハミルトニアンODE系であり、全質量および全エネルギーを保存するため、長期的安定性を保証する。
• フィッシャー情報量と輸送距離に基づいて生じる、これまで報告されていなかった非線形グラフラプラシアンを有する離散的NLSが特徴である。
• 基底状態 ρ^g は ∑ⱼ V_j ρ_j + (h²/8)ℐ(ρ) を最小化する。数値結果により、h→0 のとき x=0 でδ関数測度に収束することが示された。
• 2ノードグラフでは、位相空間図により基底状態 (½,½,0) がスペクトル安定であり、その周囲に閉曲線が存在することが示された。
• ハミルトニアン行列 H^(2) の固有値は α_k^± = i√(λ_k²h²/4 + αλ_k/n) であり、α > −(n/4)λ_k h² のとき安定性が保証される。
• 系は2つの修正されたグラフラプラシアンからなるシンプレクティック構造を有し、安定性のスペクトル解析を可能にする。