[論文レビュー] A discrete time neural network model with spiking neurons. Rigorous results on the spontaneous dynamics

Bruno Cessac|ArXiv.org|Jun 1, 2007

Neural dynamics and brain function参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、スパikingニューロンを備えた離散時間ニューラルネットワークモデル（BMSモデル）を提示し、記号的力学を用いて膜電位ダイナミクスとスパイク列の間の一対一対応を厳密に確立する。一般に周期的であるが、鋭いしきい値のため初期条件に対する弱い感受性を示し、数値的に区別できないカオス的ダイナミクスを示す。これにより、エルゴディック理論および熱力学的形式主義を用いたスパイクパターンの解析が可能となる。

ABSTRACT

We derive rigorous results describing the asymptotic dynamics of a discrete time model of spiking neurons introduced in \cite{BMS}. Using symbolic dynamic techniques we show how the dynamics of membrane potential has a one to one correspondence with sequences of spikes patterns (``raster plots''). Moreover, though the dynamics is generically periodic, it has a weak form of initial conditions sensitivity due to the presence of a sharp threshold in the model definition. As a consequence, the model exhibits a dynamical regime indistinguishable from chaos in numerical experiments.

研究の動機と目的

• 離散時間スパキングニューラルネットワークモデル（BMSモデル）の厳密な数学的枠組みを確立し、膜電位ダイナミクスとスパイク列との明示的対応関係を明示すること。
• モデルの漸近的ダイナミクスを分析し、特に鋭いしきい値が初期条件感受性および周期性に与える影響を解明すること。
• モデルのダイナミクスが一般に周期的であるものの、特異集合による特異性のため、数値シミュレーションではカオス的に見えることの証明。
• 動的システム理論、エルゴディック理論、統計力学のツールを用いてスパイク列における情報符号化を研究する基盤を構築すること。
• 本モデルが神経符号化、シナプス可塑性、ノイズおよびネットワークサイズの影響を理解する上で示唆する意義を検討すること。

提案手法

• 記号的力学および位相的力学を用いて、ニューロンのスパイクパターンを記号列（ラスタープロット）として符号化する。
• BMSモデルを定義する区分的アフィン写像の漸近的挙動を、動的システム理論の厳密な技法を用いて分析する。
• 鋭いしきい値のため、初期条件に点的敏感性を示す特異集合（Lebesgue測度ゼロの集合）を同定する。
• マーカフ分割を構築し、システムのダイナミクスを記号的に符号化可能とし、熱力学的形式主義の適用を可能にする。
• ネットワーク挙動の遷移を数値的に調査し、シナプス結合強度の分散が増加するに従い、静止状態（神経死）から長期間の遷移的カオス的ダイナミクスへの急激な遷移が観察される。
• ギブス測度およびトポロジカル圧力に関する変分原理を用いて、スパイク列の統計的性質をモデル化し、STDP やヘブシアン可塑性の学習ルールと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間スパキングニューラルネットワークにおける膜電位ダイナミクスを、スパイク列（ラスタープロット）に厳密に写像する方法は何か？
• RQ2 鋭いしきい値を持つスパキングニューラルネットワークにおける初期条件感受性の性質は何か？また、古典的カオスとはどのように異なるか？
• RQ3 吸引子と特異集合の距離がゼロに近づくに従い、周期軌道の数および一時的長さはどのようにスケーリングするか？
• RQ4 BMSモデルは、ギブス測度および熱力学的形式主義を用いてスパイク列の統計的力学的記述を可能にするか？
• RQ5 シナプス結合強度の分散が、ネットワークにおけるカオス的ダイナミクスの出現に与える影響は何か？

主な発見

• 膜電位ダイナミクスとスパイクパターン列（ラスタープロット）との間に一対一対応が存在し、連続的電位から離散的スパイクへの変換において情報が損なわれないことが保証される。
• ダイナミクスは一般に周期的であるが、特異集合の存在により初期条件に対する弱い感受性が生じ、その集合と交差する際に軌道が点的に発散する。
• 吸引子と特異集合の距離がゼロに近づくに従い、周期軌道の数および一時的長さが指数関数的に増加し、数値的に区別できないカオス的挙動が生じる。
• 数値的シミュレーションで急激な遷移が観察された：シナプス結合強度の分散を増加させると、ネットワークは静止状態（神経死）から長期間の遷移的カオス的ダイナミクスへと移行し、さらに分散を増やすと低周期的ダイナミクスへ回復する。
• モデルはマーカフ分割を支持しており、記号的力学の適用およびエルゴディック理論と熱力学的形式主義を用いたスパイク列統計の解析が可能となる。
• ギブス測度が自然に出現し、最大エントロピーの原理およびトポロジカル圧力に関する変分原理を通じて、STDP やヘブシアン可塑性の学習ルールと関連付ける統計的枠組みを提供する。