[論文レビュー] A Discussion on the Different Notions of Symmetry of Differential Equations

Giampaolo Cicogna|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、偏微分方程式（PDE）における異なる対称性タイプを分類する統一的な枠組みを提示する。標準的および弱い条件付き対称性、ならびに正確、部分的、隠れた対称性を導入し、厳密に特徴づける。対称性に適した変数を用いて、これらの対称性がどのように簡約系や不変解へと導くかを示し、明示的な例を通じて、対称性タイプごとの解集合の違いを示している。

ABSTRACT

A discussion is presented, within a simple unifying scheme, about different types of symmetry of PDE's, with the introduction and a precise characterization of the notions of "standard" and "weak" conditional symmetries, together with their relationship with exact and partial symmetries. An extensive use of "symmetry-adapted" variables will be made, and some clarifying examples are provided.

研究の動機と目的

• PDEにおける対称性のさまざまな概念を包括的かつ統一的に扱う枠組みを提供すること、特に条件付き、部分的、隠れた対称性に焦点を当てる。
• 文献でしばしば混同される「標準的」と「弱い」条件付き対称性の違いを明確にすること。
• 部分的対称性の厳密な特徴づけと、条件付き対称性および不変解との関係を確立すること。
• 異なる対称性タイプがどのように異なる解族を生じるかを例を通じて示し、非自明な不変解の存在を示すこと。
• 対称性に適した座標と微分制約を組み込んだ標準的対称性簡約手順を拡張すること。

提案手法

• 特性法を用いて、対称性に適した変数（s, z, v）を導入し、PDEを∂/∂sに関する不変となる形に変換する。
• ベクトル場 X = ξᵢ∂/∂xᵢ + φₐ∂/∂uₐ の延長を用い、X*(Δ) および関連する制約条件に基づいて、正確、条件付き、部分的対称性を定義する。
• 正確対称性に対しては条件 X*(Δ) = GₐᵦΔᵦ を、不変性に対しては X*(Δ) = 0 を用いる一方、条件付き対称性には微分制約 Δ⁽¹⁾ = 0, Δ⁽²⁾ = 0, ... を導入する。
• 弱い条件付き対称性の概念を、系 Δ = 0, Δ⁽¹⁾ = 0, ..., Δ⁽σ⁾ = 0 および不変性条件 X_Q u = 0 を用いて定式化し、不変解を導出する。
• PDEを変数 z および v⁽ᵐ⁾ のみに依存する系 Kₐ = 0 に簡約し、対称性に適した座標下で元の系と同等であることを示す。
• 例（Popovichの方程式、KdV、Boussinesq）を用いて、弱いCS、部分的対称性、正確対称性といった異なる対称性タイプが、それぞれ異なる解族を生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確、条件付き、部分的、隠れた対称性といった異なる対称性概念を、単一の枠組み内で体系的に区別・統合する方法は何か？
• RQ2 「標準的」と「弱い」条件付き対称性の正確な数学的特徴づけは何か？また、それらの解生成能力にどのような差があるか？
• RQ3 部分的対称性は、弱い条件付き対称性を一般化または包含するか？その解構成への影響は何か？
• RQ4 対称性に適した座標は、PDEの簡約および不変解の導出をどのように支援するか？
• RQ5 同じ対称性ベクトル場が、不変性条件を課すか否かによって、複数の解族を生成しうるか？

主な発見

• 本稿では、弱い条件付き対称性が、系 Δ = 0, Δ⁽¹⁾ = 0, ..., Δ⁽σ⁾ = 0 および不変性条件 X_Q u = 0 によって特徴づけられ、特定の不変解を生成することを確立している。
• Popovichの方程式において、ベクトル場 X = ∂/∂t は弱い条件付き対称性であり、解 u = c exp(x) を生成する。一方、部分的対称性として、より一般な解 u = c exp(x) + c₁ exp(x + t) を得る。
• Boussinesq方程式において、対称性 X = ∂/∂t + (1/t² - 2u/t)∂/∂u は、順序 σ = 1 の弱い条件付き対称性であり、解 u = 1/t - x²/t² を導く。
• 対称性 X = t²∂/∂x + ∂/∂t - (2x + 10t³/3)∂/∂u は、順序 σ = 3 の弱い条件付き対称性であり、解 u = -t⁴/3 - 2tx - 12/(x - t³/3)² を生成する。
• 不変性条件 X_Q u = 0 を除外すると、同じ対称性は拡張された解族 u = -t⁴/3 + c₁t - 2tx + c₂ を生成する。これは、それが部分的対称性であることを示している。
• Korteweg-de Vries方程式において、スケーリング対称性 X = 2x∂/∂x + t∂/∂t + u∂/∂u は弱い条件付き対称性として機能し、解 u = x/t を生成する。一方、部分的対称性としても機能し、より大きな解族 u = (x + c₁)/(t + c₂) を得る。