[論文レビュー] A dissipative time reversal technique for photo-acoustic tomography in a cavity

Linh V. Nguyen, Leonid Kunyansky|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、エネルギー保存により従来の時空反転法が失敗する完全に反射する壁を持つキャビティ内における光超音波トモグラフィーのための散逸的時空反転技術を提案する。ディリクレ境界条件に代えて、解の法線微分と時間微分を組み合わせた非標準的境界条件を導入することで、誤差方程式が散逸的境界条件を満たし、測定時間Tの増加に伴い初期圧力再構成が指数関数的に収束する。非反復的および反復的（ノイマン級数）な実装が、完全データおよび部分データの両方に対して適用可能である。

ABSTRACT

We consider the inverse source problem arising in thermo- and photo-acoustic tomography. It consists in reconstructing the initial pressure from the boundary measurements of the acoustic wave. Our goal is to extend versatile time reversal techniques to the case of perfectly reflecting boundary of the domain. Standard time reversal works only if the solution of the direct problem decays in time, which does not happen in the setup we consider. We thus propose a novel time reversal technique with a non-standard boundary condition. The error induced by this time reversal technique satisfies the wave equation with a dissipative boundary condition and, therefore, decays in time. For larger measurement times, this method yields a close approximation; for smaller times, the first approximation can be iteratively refined, resulting in a convergent Neumann series for the approximation.

研究の動機と目的

• エネルギー保存により従来の時空反転法が失敗する、完全に反射する境界を持つ共鳴キャビティ内における熱的・光超音波トモグラフィー（TAT/PAT）の逆源問題に対処する。
• エネルギーの減衰に依存する標準的時空反転手法の限界を克服し、エネルギー保存キャビティでは適用できない問題を解決する。
• 短い測定時間に対しても誤差の減衰と収束を保証する、強固で数値的に実装可能な時空反転法を開発する。
• 完全データおよび部分データの両方に対して高精度な再構成を可能にし、従来の手法が厳しい固有値条件や調和拡張を要するという制限を克服する。

提案手法

• 解の法線微分と時間微分を組み合わせた非標準的境界条件を用いた新しい時空反転アルゴリズムを提案し、誤差が散逸的波動方程式を満たすように保証する。
• 誤差方程式が散逸的境界条件のおかげで時間とともに減衰するように定式化し、測定時間Tの増加に伴い収束を実現する。
• 非反復的近似（Tとともに指数関数的に収束）とノイマン級数による反復的改善の2つの再構成戦略を導入する。
• 従来の固有値に基づく条件よりも制限が少ない一般化制御条件（GCC）の下で理論的収束を確立する。
• 境界データの調和拡張の計算を回避することで、平均時空反転法と比較して数値的実装を簡素化する。
• 2次元の円形領域を用いた数値的検証により、完全データおよび部分データ、ノイズあり・なしの状況下で本手法の性能を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に反射する壁を持つキャビティ内におけるTAT/PATのための時空反転法を開発可能か？　ここで直接問題の解は時間とともに減衰しない。
• RQ2 ネウマン境界条件により波動エネルギーが保存される状況で、時空反転における誤差をどのように制御し、減衰させるか？
• RQ3 誤差方程式が散逸的条件を満たし、時間とともに減衰するようにするために、時空反転で用いる境界条件は何か？
• RQ4 提案手法は、領域の固有値に厳しいスペクトル的制約を課さずに、完全データおよび部分データ問題の両方で収束を達成できるか？
• RQ5 一部の先行手法が要請する境界データの調和拡張の計算を避けて、本手法は効率的に実装可能か？

主な発見

• 提案された散逸的時空反転法は、エネルギーの減衰がない状況下でも、測定時間Tの増加に伴い再構成誤差が指数関数的に0に収束することを達成する。
• 完全データの場合、最初のシミュレーションで$L^2(Ω)$相対誤差は1.1%であった。$T = 1.6$（$T(Ω,\Gamma) \approx 2.828$）の条件下で5反復後に3.3%に低下した。
• 部分データの場合、最初のシミュレーションで$L^2(Ω)$相対誤差は6.8%であった。$T = 3$（$T(Ω,\Gamma) \approx 5.6569$）の条件下で5反復後に5.4%に低下した。
• 50%の白色ノイズが加わった状況下でも本手法は頑健であり、最初の近似で完全データでは19%、部分データでは22%の相対誤差を示し、データノイズに対して低感受性であることが示された。
• 一般化制御条件（GCC）の下で理論的収束が確立され、[HK15]などにおける固有値に基づく条件よりも制限が少ない。
• 数値結果から、理論的下限に近い測定時間でもアルゴリズムが良好に動作することが示され、実用的には鋭い時間要件が過度に制限的ではないことが明らかになった。