[論文レビュー] A Distance Between Filtered Spaces Via Tripods

Bauer, Ulrich, Landi, Claudia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2つの異なるフィルター付き空間を比較するための新しい擬距離 dF を導入する。この距離は、2つの異なるフィルター付き空間に写像する共通のパラメータ空間（三脚）を用いる。フィルター付き空間の空間における明示的な測地線を構成することで、著者たちは dF が内在的であることを証明し、持久ホモロジーの安定性を強化する。特に、測地線に沿った持久図の軌道の長さが dF によって有界であることを示している。

ABSTRACT

We consider the setting of Reeb graphs of piecewise linear functions and study distances between them that are stable, meaning that functions which are similar in the supremum norm ought to have similar Reeb graphs. We define an edit distance for Reeb graphs and prove that it is stable and universal, meaning that it provides an upper bound to any other stable distance. In contrast, via a specific construction, we show that the interleaving distance and the functional distortion distance on Reeb graphs are not universal.

研究の動機と目的

• 異なる基本集合を持つフィルター付き空間への持久ホモロジーの安定性を拡張し、先行研究が共通の定義域を要していたという制限を克服すること。
• 有限のフィルター付き空間の空間に測地線的距離を定義し、明示的な測地線の構成によって dF が内在的であることを証明すること。
• 測地線に沿った持久図の軌道の長さを dF と関連付けることで、古典的安定性定理を強化すること。
• 距離空間（例：リップスおよびチェハフィルトレーション）から生じるフィルター付き空間を、グロモフ＝ハウスドルフ距離を介して比較するための枠組みを提供すること。

提案手法

• dF(X, Y) を、すべての共通パラメータ空間 Z および全射写像 ϕX: Z → X、ϕY: Z → Y における、引き戻しフィルトレーション ϕ*XF と ϕ*YF の差の ℓ∞-ノルムの下界として定義する。
• 同型やインタリーブングを要件としない、異なる集合上のフィルトレーションを比較するための三脚（共通パラメータ空間）を用いる。
• 最適化された三脚 T ∈ T_opt(X,Y) に対して、γT(t) = (Z, (1−t)ϕ*XF + tϕ*YF) として測地線を構成し、dF(γT(s), γT(t)) = |s−t|·dF(X,Y) を証明する。
• 測地線の構成を活用して、持久図の軌道長 LD(Dk(γT)) を dF(X,Y) で上から抑え、ボトルネック距離による境界よりも改善された境界を得る。
• 積パラメータ空間上の引き戻し図を用いて、dF が三角不等式を満たすことを示し、dF が擬距離であることを証明する。
• この枠組みをリップスおよびチェハフィルトレーションに適用し、dF(F^R_X, F^R_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) および dF(F^C_X, F^C_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) を示し、グロモフ＝ハウスドルフ距離と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インタリーブングに依存せずに、異なる基本集合上のフィルトレーションに対し、持久ホモロジーの安定性を拡張することは可能か？
• RQ2 提案された距離 dF は内在的であるか。すなわち、任意の2つのフィルター付き空間の間に明示的な測地線が存在するか？
• RQ3 測地線に沿った持久図の軌道の長さは、ボトルネック距離よりも強い境界を与えることができるか？
• RQ4 dF は、距離空間のフィルトレーションに対して、古典的な距離（例えばグロモフ＝ハウスドルフ距離）とどのように関係するか？

主な発見

• 擬距離 dF は適切に定義されており、三角不等式を満たすため、有限のフィルター付き空間の空間上での有効な擬距離である。
• 任意のフィルター付き空間のペア X と Y に対して、最小化三脚 T が存在し、曲線 γT(t) = (Z, (1−t)ϕ*XF + tϕ*YF) が dF における測地線であることが示され、dF が内在的であることが証明される。
• 持久図の軌道長 LD(Dk(γT)) は dF(X,Y) で上から抑えられる。これは、定理 4.2 を強化し、ボトルネック距離による境界よりもタイトな下界を提供する。
• リップスおよびチェハフィルトレーションに対して、dF(F^R_X, F^R_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) および dF(F^C_X, F^C_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) が成り立ち、dF がグロモフ＝ハウスドルフ距離と関連づけられる。
• 反例においては、LD(αT) = 1 であるのに対し、dD(Dk(X), Dk(Y)) = 1/2 であるため、新しい境界が古典的ボトルネック境界よりも厳密に強いことを示している。
• 測地線の構成により、多価写像やインタリーブングに依存せずに、強化された安定性結果を直接証明できる。