[論文レビュー] A Distributed Observer for a Continuous-Time Linear System with time-varying network

Lili Wang, Ji Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時変ネットワークを有する連続時間線形システムに対して、各エージェントが局所的測定値と隣接エージェントとの通信を用いてグローバル状態を推定する分散型観測器を提案する。ゲイン $ g $ を設計することにより、ネットワークが強連結であり、かつシステムが連合可観測である限り、推定誤差が事前に指定されたレートで指数的収束することを保証する。

ABSTRACT

A simply structured distributed observer is described for estimating the state of a continuous-time, jointly observable, input-free, linear system whose sensed outputs are distributed across a time-varying network. It is explained how to design a gain $g$ in the observer so that their state estimation errors all converge exponentially fast to zero at a fixed, but arbitrarily chosen rate provided the network's graph is strongly connected for all time. A linear inequality for $g$ is provided when the network's graph is switching according to a switching signal with a dwell time or an average dwell time, respectively. It has also been shown the existence of $g$ when the stochastic matrix of the network's graph is chosen to be doubly stochastic under arbitrarily switching signals. This is accomplished by exploiting several well-known properties of invariant subspaces and properties of perturbed systems.

研究の動機と目的

• 通信ネットワークのトポロジーが時変である場合に、連続時間線形システムにおける分散型状態推定の課題に対処すること。
• 固定トポロジーに限定された既存の分散型観測器を時変ネットワークに拡張し、推定誤差の指数的収束を維持すること。
• ユーザー定義のレート $ \lambda $ で指数的収束を保証する観測器ゲイン $ g $ に対する明示的条件を提供すること。
• ドリフト時間または平均ドリフト時間制約を満たすスイッチングネットワークトポロジー下での推定誤差ダイナミクスの安定性を分析すること。
• ネットワークの確率的行列が双方向確率的である場合、任意のスイッチングのもとで指数的収束が達成可能であるための条件を確立すること。

提案手法

• 各エージェントが自らの出力と隣接エージェントの状態を使用する分散型観測器を設計する。その形式は $ \dot{x}_i = (A + K_i C_i)x_i - K_i y_i - g P_i \left( x_i - \frac{1}{m_i} \sum_{j \in \mathcal{N}_i} x_j \right) $ である。
• 不変部分空間および観測不能部分空間の性質を用いて誤差ダイナミクスを分析し、収束を保証する。
• ゲイン $ g $ を導入し、行列 $ A_V(\sigma(t)) $ の固有値の実部が $ -\lambda $ より小さいことを保証することで、誤差系の安定化を実現し、指数的減衰を可能にする。
• 行列摂動理論およびリャプノフ解析を適用し、遷移行列 $ \Phi_V(t,\tau) $ のバインドを示し、$ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $ を得る。
• 行列 $ 2I_m - S(\sigma(t)) - S^\top(\sigma(t)) $ の構造を活用し、$ S(\sigma(t)) $ が双方向確率的であるとき、この行列が負定値であることを示す。
• 平均化論法およびスイッチングシステム理論を用いて、ドリフト時間または平均ドリフト時間制約下での収束を保証する線形不等式を $ g $ に関して導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時変通信ネットワークを有する連続時間線形システムにおいて、推定誤差の指数的収束を保証する分散型観測器を設計可能か？
• RQ2 スイッチングトポロジー下で、ユーザー定義のレート $ \lambda $ での指数的収束を保証するネットワークトポロジーおよび観測器ゲイン $ g $ の条件は何か？
• RQ3 双方向確率的ネットワーク行列の選択が、任意のスイッチング下での分散型観測器の安定性に与える影響は何か？
• RQ4 観測不能部分空間および不変部分空間の性質が、分散型観測器の構築および解析に果たす役割は何か？
• RQ5 強連結性などの特定のトポロジカル制約が満たされている限り、スイッチングパターンに依存せずに収束レートを独立に設定可能か？

主な発見

• ドリフト時間 $ \tau_D $ を持つ任意のスイッチング信号に対して、正のゲイン $ g $ が存在し、推定誤差がユーザー定義のレート $ \lambda $ で指数的かつ高速にゼロに収束することが保証される。ただし、$ g \geq \frac{\ln c + \lambda \tau_D}{\lambda^* \tau_D} $ を満たす必要がある。
• 平均ドリフト時間 $ \tau_D $ の下でも、同様の $ g $ に関する線形不等式が、レート $ \lambda $ での指数的収束を保証する。その境界はシステムのスペクトル特性に依存する。
• ネットワークの確率的行列 $ S(\sigma(t)) $ が双方向確率的であり、グラフが強連結である場合、$ g $ が十分に大きい限り、任意のスイッチング信号のもとで指数的収束が保証される。
• 誤差ダイナミクスの遷移行列 $ \Phi_V(t,\tau) $ は、$ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $ を満たし、推定誤差の指数的減衰を保証する。
• 観測器設計はスイッチングに対してロバストである。収束レート $ \lambda $ は、ネットワークが強連結である限り、スイッチングパターンに依存せずに事前に割り当て可能である。
• リャプノフ解析および摂動系の性質を用いて、適切なゲイン $ g $ の存在が確立される。特に、$ g $ が十分に大きい場合に $ (\lambda I + A_V(\sigma(t))) + (\lambda I + A_V(\sigma(t)))^\top \prec 0 $ が成り立つことを保証する。