[論文レビュー] A division Algorithm for the Free Left Distributive Algebra

Richard Laver|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 1992

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、自由左分配代数（FLDA）の除法アルゴリズムを、合成演算を含むより大きな代数 ${\cal P}$ における通常形の拡張によって提示する。主な貢献は、${\cal P}$ の任意の元が一意な「p-除法形」表現を有することを証明することであり、これにより語の問題の決定可能性が保証され、ZFCにおける大基数仮定を用いない左辞書式順序による線形順序が構築される。

ABSTRACT

The normal form theorem, proved in R. Laver, On the left distributive law and the freeness of an algebra of elementary embeddings, Advances in Mathematics 91 (1992), 209-231, for the free algebra $\Cal A$ on one generator $x$ satisfying the left distributive law $a(bc) = (ab)(ac)$ is extended by showing that members of $\Cal A$ can be put into a "division form."

研究の動機と目的

• 自由左分配代数（FLDA）の通常形定理を、合成演算を備えたより大きな代数 ${\cal P}$ における除法アルゴリズムへ拡張すること。
• ${\cal P}$ の任意の元が、固定された $p \in {\cal P}$ に対して一意な「p-除法形」表現を有することを確立し、アルゴリズム的取り扱いを可能とすること。
• ${\cal P}$ および ${\cal A}$ における左辞書式順序 $<_{L}$ が全順序であり、かつ厳密順序 $<$ と一致することを証明し、ZFCにおける基礎的順序論的性質を確立すること。
• ${\cal A}$ および ${\cal P}$ における語の問題の決定可能性を、新規の除法形および通常形技法を用いて証明すること。
• 主な結果（例えば、$<_{L}$ の非反射性および線形性）が大基数公理（例：$n$-巨大基数）に依存しないことを示し、ZFCで証明可能であることを示すこと。Dehornoyの独立的なZFC証明に基づく。

提案手法

• 単一の生成元 $x$ による演算 $\cdot$（乗法）および $\circ$（合成）を備えたより大きな代数 ${\cal P}$ を定義し、左分配法則の保存的拡張 $\sum$ を満たす。
• ${\cal P}$ の元に対して「p-除法形」の概念を導入し、項 $w$ が $p \cdot a_0 \cdots a_{n-1} \ast a_n$ の形に表現され、各 $a_i$ がp-除法形であり、事前正規性条件を満たすようにする。
• p-除法形における辞書式順序 $<_{\text{Lex}}$ を用いて一意な表現体系を定義し、一意性と計算可能性を保証する。
• 帰納法および補助補題（補題5–7）を用いて、$|w|^{pq}$ および $|w|^p$ の存在を証明する。これは、$<_{L}$ の事前正規性および順序性に依存する。
• $<_{L}$ が ${\cal P}$ および ${\cal A}$ において全順序であることをDehornoyによるZFC内証明に基づき利用し、書き換え規則の整合性および決定可能性を保証する。
• $p$-正規形（$p$-NF）の構成を再帰的に適用し、$|w|_p$ を用いて、$p^{(i)}$ の反復およびより小さい元の表現として、${\cal P}$ における一意な表現を可能とし、[5]の結果を ${\cal P}$ へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由左分配代数の任意の元は、固定された生成子 $p$ に対して一意に「除法形」で表現可能か？
• RQ2 $<_{L}$ が ${\cal P}$ 上で厳密順序 $<$ と一致し、かつZFCにおいて線形的かつ整列的であるか？
• RQ3 ${\cal A}$ および ${\cal P}$ における語の問題は決定可能か？また、大基数仮定なしにこれを確立できるか？
• RQ4 ${\cal A}$ から ${\cal P}$ へ、正規形および除法形の構成を拡張可能か？その際、一意性および計算可能性が保たれるか？
• RQ5 反復合成 $p^{(n)}$ と順序構造 $<_{L}$ の関係は何か？また、除法形の存在を支持する根拠となるか？

主な発見

• ${\cal P}$ の任意の元 $w$ は、任意の $p \in {\cal P}$ に対して一意な $p$-除法形表現を有し、これにより正規形が一意に定まる。
• 左辞書式順序 $<_{L}$ は ${\cal P}$ および ${\cal A}$ において全順序であり、厳密順序 $<$ と一致する。これは、型 $\omega \cdot (1 + \eta)$ の線形順序である。
• ${\cal A}$ および ${\cal P}$ における語の問題は決定可能である。これは、一意な正規形および除法形の存在により、効果的な比較および書き換えが可能となるため。
• ${\cal A}$ の書き換え系は整合的であり、共通の項から出発する任意の二つの導出が、共通の正規形に収束する。
• すべての $p, w \in {\cal P}$ に対して、$|w|^p$（$w$ の $p$-正規形）の存在が保証される。これは、${\cal A}$ における正規形定理を ${\cal P}$ へ拡張するものである。
• 結果はZFCで証明可能であり、$n$-巨大基数の存在といった大基数公理に依存しなくなった。これは、$<_{L}$ の非反射性を証明するために過去に用いられていた。