[論文レビュー] A DIVISION ALGORITHM IN AN AFFINE FRAMEWORK FOR FLAT FAMILIES COVERING HILBERT SCHEMES

Cristina Bertone, Francesca Cioffi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、固定されたアフィンヒルベルト多項式とモノミアル基底を持つ非斉次イデアルの平坦族を構成するための、(j;m)-マークド基底に基づく新しいアフィン除法アルゴリズムを導入する。これにより、アフィン空間内の部分スキームの明示的計算と効率的な斉次化が可能になる。主な貢献は、強い安定イデアル上のマークド族がヒルベルト多様体の開被覆をなすことを証明したことであり、P⁷における16点のヒルベルト多様体において3つの既約成分を1点で同定するなど、明示的計算が可能になる。

ABSTRACT

We study the family of ideals i R = K(x1;:::;xn) whose quotients R=i share the same ane Hilbert polynomial and the same monomial K-vector basis, that we choose to be the sous-escalierN (j) of a strongly stable ideal j R. The analogous problem for homogeneous ideals has already been studied, but in the non-homogenous case there are more diculties that we overcome introducing the notion of ( j;m)-marked basis, for a xed positive integer m. We design a division algorithm which works in an ane context and allows the explicit construction of a class of at families of (non-homogeneous) ideals, that we call (j;m)-marked families. We can compute a set of equations endowing a marked family Mf(j;m) with the structure of subscheme of a suitable ane space; moreover, we can simultaneously contruct the homogenization of the ideals inMf(j;m) in a very ecient and simple way. Finally we show that, up to changes of coordinates, the marked families over strongly stable ideals in R give an open cover of Hilbert schemes. These results allow us to make explicit computations on Hilbert schemes, for example, for the one of 16 points in P 7 , we detect three irreducible components through a single point and we prove the smoothability of Gorenstein schemes with Hilbert function (1; 7; 7; 1). In a similar way we also prove the smoothability of Gorenstein schemes with Hilbert function (1; 5; 5; 1).

研究の動機と目的

• 固定されたアフィンヒルベルト多項式とモノミアル基底を持つ非斉次イデアルの平坦族を体系的に構成するための方法を開発すること。
• 固定された正の整数mに対して、非斉次の場合の課題を克服するため、(j;m)-マークド基底の概念を導入すること。
• 明示的な(j;m)-マークド族の構成とその斉次化を可能にするアフィン除法アルゴリズムを設計すること。
• 明示的な方程式を用いてマークド族にアフィン空間内の部分スキームの構造を付与すること。
• 座標変換を除いて、これらのマークド族が強い安定イデアル上に、ヒルベルト多様体全体を被覆することを示すこと。

提案手法

• 固定された正の整数mに対して、アフィン設定における非斉次イデアルを取り扱うための(j;m)-マークド基底の概念を導入する。
• 強い安定イデアルとそのsous-escalierN(j)の枠組み内で動作する、アフィン環に特化した除法アルゴリズムを開発する。
• マークド族Mf(j;m)を適切なアフィン空間内の部分スキームとして定義する明示的方程式を構成する。
• 同時に、Mf(j;m)に属するすべてのイデアルの斉次化を、効率的かつ体系的に行う。
• 得られた(j;m)-マークド族を座標変換を用いてヒルベルト多様体を被覆し、開被覆を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン設定において、固定されたモノミアル基底とアフィンヒルベルト多項式を持つ非斉次イデアルの平坦族を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 非斉次イデアルの(j;m)-マークド基底の構成において、パrameter mの役割は何か？
• RQ3 マークド族をアフィン空間内の部分スキームとして実現するための明示的方程式を導出できるか？
• RQ4 このような族に属するイデアルの斉次化を、効率的かつ一様に計算できるか？
• RQ5 座標変換を除いて、強い安定イデアル上のマークド族がヒルベルト多様体を被覆する開被覆をなすか？

主な発見

• 本稿は、マークド族Mf(j;m)にアフィン空間内の部分スキームの構造を付与する明示的方程式を構成した。
• 提案された方法により、Mf(j;m)に属するすべてのイデアルの斉次化を効率的かつ一様に計算できる。
• P⁷における16点のヒルベルト多様体に対して、本手法は1点の情報から3つの既約成分を同定できた。
• 構築された族を用いて、ヒルベルト関数(1; 7; 7; 1)を持つゴレンスタインスキームの滑らか化を証明した。
• 同様の枠組みを用いて、ヒルベルト関数(1; 5; 5; 1)を持つゴレンスタインスキームの滑らか化も確立した。