[論文レビュー] A Donsker Theorem for Lévy Measures

Richard Nickl, Markus Reiß|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程の離散時間観測に基づくLévy測度の分布関数推定量について、Donsker型の関数中心極限定理を確立する。特性関数の多項式的減衰条件の下で、正規化された推定誤差 √n(ÂNn − N) は、Fourier積分作用素に依存する共分散構造を持つ一般化されたブラウン運動ブリッジに弱収束する。これは、古典的な経験過程理論をLévy過程統計における非線形逆問題へと拡張するものである。

ABSTRACT

Given $n$ equidistant realisations of a Lévy process $(L_t,\,t\ge 0)$, a natural estimator $\hat N_n$ for the distribution function $N$ of the Lévy measure is constructed. Under a polynomial decay restriction on the characteristic function $ϕ$, a Donsker-type theorem is proved, that is, a functional central limit theorem for the process $\sqrt n (\hat N_n -N)$ in the space of bounded functions away from zero. The limit distribution is a generalised Brownian bridge process with bounded and continuous sample paths whose covariance structure depends on the Fourier-integral operator ${\cal F}^{-1}[1/ϕ(-\cdot)]$. The class of Lévy processes covered includes several relevant examples such as compound Poisson, Gamma and self-decomposable processes. Main ideas in the proof include establishing pseudo-locality of the Fourier-integral operator and recent techniques from smoothed empirical processes.

研究の動機と目的

• Lévy過程の離散時間観測からのLévy測度のノンパラメトリック推定に、Donskerの定理を拡張すること。
• 特に、過程にガウス成分がない場合に顕著な、Lévy測度を非線形逆問題として推定する内因的困難に対処すること。
• 有界関数空間（0 を除く）において、正規化推定量 √n(ÂNn − N) の関数中心極限定理を確立すること。
• 弱収束の極限を、1/ϕ(−·) の逆フーリエ変換に依存する一般化されたブラウン運動ブリッジとして特徴づけること。ここで ϕ は増分の特性関数である。
• Lévy過程モデルにおける信頼区間の構築および適合度検定の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• n 個の等間隔観測から得られるLévy測度 ν の累積分布関数 N の自然な推定量ÂNn を構築する。
• Banach空間 R \ (−ζ, ζ) 上の有界関数におけるプロセス √n(ÂNn − N) の弱収束を証明する。
• 極限の共分散構造を特定するために、Fourier積分作用素 F−1[1/ϕ(−·)] を用いる。これにより、極限がdeconvolution型問題と結びつく。
• 線形化された逆問題に由来する関数クラス Gϕ = {F−1[1/ϕ(−·)] ∗ 1(−∞,t] : |t| ≥ ζ} における経験過程のtightnessを確立する。
• 滑らかな経験過程および擬微分作用素理論の最近の技術を適用し、特にFourier積分作用素の擬局所性を活用する。
• 被覆数推定および L2(P)-閉包の議論を用いて、関連関数クラスのpregaussianityおよびエントロピー条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程の離散観測からのLévy測度のノンパラメトリック推定に対して、Donsker型の関数中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 有界関数空間（0 を除く）における正規化推定量 √n(ÂNn − N) の極限分布は何か？
• RQ3 極限過程の共分散構造は、Lévy過程増分の特性関数 ϕ にどのように依存するか？
• RQ4 ϕ に課される条件（例えば、多項式的減衰）は、弱収束が成立するためのものであり、逆問題の悪条件性とどのように関係するか？
• RQ5 古典的な経験過程理論は、Lévy過程統計に生じる非線形逆問題へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 正規化推定量 √n(ÂNn − N) は、R \ (−ζ, ζ) 上の有界関数空間において、一般化されたブラウン運動ブリッジ過程に弱収束する。
• 極限過程は連続な標本パスを持ち、共分散構造はFourier積分作用素 F−1[1/ϕ(−·)] によって決定される。
• 特性関数 ϕ に多項式的減衰条件が成立する場合に収束が成立し、これによりdeconvolution作用素の可逆性と安定性が保証される。
• カバーするLévy過程のクラスには、複合ポアソン過程、ガンマ過程、自己分解可能過程が含まれ、広範な適用可能性を示す。
• 証明は、変換された関数クラスにおけるpregaussianityおよびエントロピー条件の検証に依存しており、被覆数は多項式的に増加する。
• 経験過程の収束速度は、エントロピーおよびエンvelopeの境界によって制御され、エンvelope の大きさは h−α′（h ≲ n−1/(4α) 時）に比例し、漸近的tightnessを保証する。