[論文レビュー] A double large deviation principle for monge-ampere gravitation

Yann Brenier|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、N個の独立したブラウン運動粒子から成る微視的確率系を用いて、二重の大偏差原理（LDP）の応用により、離散的モンジュ＝アンペール重力モデルを導出する。最初のLDPは粒子の区別不能性を強制し、有効な1次元ダイナミクスを生成する。2番目のLDPにより、この1次ダイナミクスが2次元保存則を満たす系に上昇され、離散的MAGモデルが回復される。これにより、最適輸送と大偏差を経由して、確率的粒子運動と非線形重力ダイナミクスの間の形式的関係が確立される。

ABSTRACT

Monge-Ampere gravitation is a nonlinear modification of classical Newtonian gravitation, when the Monge-Ampere equation substitutes for the Poisson equation. We establish, through two applications of the large deviation principle, that the MA gravitation for a finite number of particles can be reduced, through a double application of the large deviation principle, to the simplest possible stochastic model: a collection of independent Brownian motions with vanishing noise.

研究の動機と目的

• 非相互作用粒子の単純な微視的モデルから、離散的モンジュ＝アンペール重力（MAG）モデルを形式的に導出すること。
• MAGモデルが、大偏差原理（LDP）を2回連続で適用することで生じることを示すこと。
• 得られる2次ダイナミクスが、加速度が有界な保存則を満たす非線形重力系に対応することを示し、ニュートン重力の特異性とは対照的であること。
• 確率的粒子運動、最適輸送、非線形PDEに基づく重力の間の形式的関係を確立すること。

提案手法

• N個の独立したブラウン運動粒子の系に大偏差原理（LDP）を適用し、粒子の区別不能性に基づく有効な1次元力学系を導出する。
• フリードリュン＝ヴェントツLDPを用いて、ドリフト項が∇Φである確率微分方程式の小ノイズ極限を分析する。ここでΦは最適輸送に関連する凸ポテンシャルである。
• ∇Φ(Y)²/2 = Φ(Y) almost everywhere であるという事実を活用し、作用原理を運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを含む形に再定式化する。
• 作用の最適性条件を導出し、2次ODE：d²Xₜ/dt² = ∇Φ(Xₜ) を得る。これはMAGモデルに対応する。
• 最適輸送写像σₜを、粒子位置とそれらの目的配置間の二乗距離の和の最小化点として特定し、重力力を定義する。
• ポテンシャルΦを介したモンジュ＝アンペール方程式の構造を活用し、加速度が有界である2次系として離散的MAGモデルを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的モンジュ＝アンペール重力モデルは、非相互作用粒子の単純な微視的モデルから導出可能か？
• RQ2 大偏差原理は、確率的運動から決定的で保存則を満たすダイナミクスへとどのように移行を可能にするか？
• RQ3 粒子の区別不能性は、非相互作用粒子系において有効な相互作用をどのように生成するか？
• RQ4 LDPの二重適用が、MAGモデルと一致する2次元保存則を満たす系へとどのように導くか？
• RQ5 最適輸送、大偏差、非線形重力ダイナミクスの間の形式的関係は何か？

主な発見

• 離散的モンジュ＝アンペール重力モデルは、N個の独立したブラウン運動粒子系の小ノイズ極限として、二重の大偏差原理の適用によって生じる。
• 最初のLDP適用により、初期に相互作用が存在しないにもかかわらず、粒子の区別不能性に基づく1次元勾配流れ系が得られ、有効な相互作用が強制される。
• 2番目のLDP適用により、1次系が方程式 d²Xₜ(a)/dt² = Xₜ(a) − A(σₜ(a)) に従う2次元力学系に上昇され、ここでσₜは最適輸送写像である。
• 得られた系は離散的MAGモデルに対応し、重力ポテンシャルは最適輸送を介したモンジュ＝アンペール方程式から導出される。
• 高密度の粒子集団においても加速度が有界に保たれることから、ニュートン重力が許容する暴走または衝突特異性とは対照的である。
• 形式的導出は、½||∇Φ(Y)||² = Φ(Y) almost everywhere という恒等式に依存しており、これにより作用原理が保存則を満たす力学的形に再定式化可能である。