[論文レビュー] A doubling measure on $\R^d$ can charge a rectifiable curve

John B. Garnett, Rowan Killip+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\r^d$ ($d \geq 2$) 上に、可 rectifiable 曲線に正の測度を割り当てる二重測度を構成する。これは、長年の常識である「二重測度は可 rectifiable 集合に対して特異的である」という仮説に反する。構成法は、三進展開に基づく反復的プロセスを用い、制御された質量分布を持つ一変数二重測度の積として行われ、曲線は入れ子になった dyadic 立方体の族を通じて埋め込まれ、$\mathcal{H}^1$-Hausdorff 測度が有限であり、かつ二重測度のもとで正の測度を持つことが証明される。

ABSTRACT

For $d\geq 2$, we construct a doubling measure $ν$ on $\R^d$ and a rectifiable curve $Γ$ such that $ν(Γ)>0$.

研究の動機と目的

• 可 rectifiable 曲線に正の測度を割り当てる $\r^d$ ($d \geq 2$) 上の二重測度が存在するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 二重測度が可 rectifiable 集合や滑らかな部分多様体に対して特異的であるという一般的な直観に挑戦すること。
• 二重測度と可 rectifiable 曲線の両方が正の測度を有する明示的な例を構成すること。
• 測度の二重性条件と曲線の有限長という制約のもとでも、このような構成が可能であることを示すこと。

提案手法

• 三進展開に基づく関数の積を用いて、$\r$ 上の一変数二重測度 $\mu$ を定義し、パラメータ $\delta \in (0, \frac{1}{3}]$ を用いて質量を分配する。
• $\mu$ の $d$ 重積として $d$ 次元の二重測度 $\nu$ を構成し、積構造が二重性を保つようにする。
• 三進展開における桁数に基づく立方体の置換を反復的に適用することで、入れ子になった dyadic 立方体の族 $\mathcal{K}_l$ を定義する。
• 各レベルの立方体内のスケルトン経路と構成の極限集合の和集合として曲線 $\Gamma$ を構築し、連結性と可 rectifiable 性を保証する。
• 大偏差推定を用いて、最初の $n$ 個の三進桁のうち、1 でない桁が高々 $k$ 個である立方体の集合の測度を評価する。
• 優越収束定理と指数的評価を適用し、$\nu(\Gamma)$ の下界を推定し、適切なパラメータのもとで正であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可 rectifiable 曲線に正の測度を割り当てる $\r^d$ ($d \geq 2$) 上の二重測度は存在するか？
• RQ2 測度の正則性にもかかわらず、可 rectifiable 曲線に対して特異的でない二重測度を構成することは可能か？
• RQ3 このような構成に成功するための測度と曲線の構造的制約は何か？
• RQ4 二重測度における質量分布をどのように調整すれば、$\mathcal{H}^1$-測度が有限な集合に集中させられるか？

主な発見

• 本稿は、$\r^d$ 上の二重測度 $\nu$ と可 rectifiable 曲線 $\Gamma$ を構成し、$\nu(\Gamma) > 0$ であることを示し、未解決問題を肯定的に解決した。
• パラメータ制約のもとで、$\mathcal{H}^1(\Gamma) \leq 3d2^d e^{3dn_1[\delta + \delta\log(\delta^{-1})]}$ であると示され、曲線の $\mathcal{H}^1$-測度が有限であることが保証された。
• $\nu(\Gamma)$ は、$\exp\bigl{\{} -\frac{de^{-2\delta^2n_1}}{(1-e^{-2\delta^2n_1})^2}\bigr{\}}$ で下から抑えられ、任意の固定された $\delta > 0$ と十分大きな $n_1$ に対して正である。
• 構成法により、$n_1$ を大きくすることで $\nu(\Gamma)$ を $\nu([0,1]^d)$ に限りなく近づけることができ、曲線が測度の大部分を占めることを示した。
• この手法は、三進展開において 1 桁が少ない区間ほど質量が高くなるように制御される、三進に基づく反復的質量分布に依存している。