[論文レビュー] A dual characterization of self-generation and exponential forward performances

Gordan Žitković|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不完全な半マルティンゲール金融市場における前向きパフォーマンス過程の二重特徴付けを確立し、プライマル効用分野における自己生成性が、局所 martingale 測度の双対分野における自己生成性と同値であることを証明する。指数型前向きパフォーマンスのための必要十分条件を提示し、伊藤過程駆動市場におけるそのような過程の明示的パラメータ化を導出し、終端時刻のない状況下での効用最大化における主要な課題を解決する。

ABSTRACT

We propose a mathematical framework for the study of a family of random fields--called forward performances--which arise as numerical representation of certain rational preference relations in mathematical finance. Their spatial structure corresponds to that of utility functions, while the temporal one reflects a Nisio-type semigroup property, referred to as self-generation. In the setting of semimartingale financial markets, we provide a dual formulation of self-generation in addition to the original one, and show equivalence between the two, thus giving a dual characterization of forward performances. Then we focus on random fields with an exponential structure and provide necessary and sufficient conditions for self-generation in that case. Finally, we illustrate our methods in financial markets driven by Itô-processes, where we obtain an explicit parametrization of all exponential forward performances.

研究の動機と目的

• . 不完全な半マルティンゲール市場における前向きパフォーマンス過程の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• . 自己生成性の双対的定式化を提供し、プライマルおよび双対的自己生成性の等価性を示すこと。
• . このクラスにおける自己生成性のための必要十分条件を導出し、指数型前向きパフォーマンスを特徴付けること。
• . 伊藤過程駆動市場における理論の具体例を提示し、すべての指数型前向きパフォーマンスの明示的パラメータ化を導出すること。
• . 前向きパフォーマンス分野の構築および特徴付けを複雑にする終端時刻の欠如を克服すること。

提案手法

• . 時間でインデックス付けされた確率場としての前向きパフォーマンス過程を導入し、自己生成性を満たす Nisio 型の半群性質を満たす。
• . 効用分野を局所 martingale 測度の族へ写像する凸解析的双対性を用いて双対確率場を定義する。
• . 効用関数と双対値関数の双対性を用いて、プライマル分野における自己生成性が双対分野における自己生成性と同値であることを証明する。
• . 変分解析を用いて、指数型効用構造に適用し、自己生成性の明示的条件を導出する。
• . 凸双対性および Fenchel-Moreau 定理を用いて、共役ペアを介してプライマルおよび双対値関数を関連付ける。
• . 半マルティンゲール位相および M´emin の定理を用いて、伊藤過程設定下での制約付きストキャスティック積分の閉包性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 自己生成性は、どのように双対枠組みにおいて前向きパフォーマンス過程に特徴付けられるか？
• RQ2 . 指数型構造を持つ前向きパフォーマンス過程が自己生成的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 . 終端時刻が存在しない状況は、前向きパフォーマンス分野の構築および特徴付けにどのように影響を与えるか？
• RQ4 . 双対定式化は、常に最小値を達成できるが、プライマル問題とは異なり、最適化子の存在を仮定する必要がない。その結果、存在性に与える影響は何か？
• RQ5 . 伊藤過程駆動市場における指数型前向きパフォーマンスに対して、どのような明示的パラメータ化が得られるか？

主な発見

• . プライマル前向きパフォーマンス分野における自己生成性は、局所 martingale 測度の双対分野における自己生成性と同値である。
• . 双対定式化は常に最小値をもつため、プライマル問題における最大値の存在を仮定する必要がなくなる。
• . 指数型前向きパフォーマンスに関して、自己生成性が成り立つのは、双対分野が局所 martingale 測度の Radon-Nikodym 微分を含む特定の指数型構造条件を満たす場合に限る。
• . 伊藤過程駆動市場では、すべての指数型前向きパフォーマンスが、マーケット・プライス・オブ・リスクおよび時不変パrameter を含む明示的パラメータ化を有する。
• . 制約付きストキャスティック積分の集合は、半マルティンゲール位相で閉じており、ポートフォリオ戦略の収束下での安定性を保証する。
• . プライマルおよび双対値関数の双対性は、ほとんど確実に点ごとの意味で成り立ち、適切な可積分性条件のもとで共役ペア表現において等号が成立する。