[論文レビュー] A Dual Number Approach for Numerical Calculation of Velocity and Acceleration in the Spherical 4R Mechanism

F. Peñuñuri, R. Peón-Escalante+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1回のステップでベクトル関数の1次および2次微分を計算する二重数に基づく数値的手法を提示する。この手法により、球面4Rリンク機構における速度および加速度の正確で効率的な計算が可能になる。アプローチは、関数、1次微分、2次微分の3成分を持つ拡張された二重数を用い、Fortranモジュールに実装されており、高い精度でトレース点の運動学的解析に成功している。

ABSTRACT

This paper proposes a methodology to calculate both the first and second derivatives of a vector function of one variable in a single computation step. The method is based on the nested application of the dual number approach for first order derivatives. It has been implemented in Fortran language, a module which contains the dual version of elementary functions as well as more complex functions, which are common in the field of rotational kinematics. Since we have three quantities of interest, namely the function itself and its first and second derivative, our basic numerical entity has three elements. Then, for a given vector function $f:\mathbb{R} o \mathbb{R}^m$, its dual version will have the form $ ilde{f}:\mathbb{R}^3 o \mathbb{R}^{3m}$. As a study case, the proposed methodology is used to calculate the velocity and acceleration of a point moving on the coupler-point curve generated by a spherical four-bar mechanism.

研究の動機と目的

• 1次および2次微分の近似誤差のない数値的手法の開発。
• 球面4R機構における解析的微分の複雑さと非効率性の克服。
• 機構の合成および最適化への速度および加速度の効率的統合。
• 実用的用途を想定した、Fortranベースのモジュールとしての基本関数および運動学的関数の二重数版の実装。
• 球面4スライドリンク機構への応用を通じて、本手法の正確性および効率性の検証。

提案手法

• 本手法は、$\tilde{f} = f + \epsilon f' + \epsilon^2 f''$ の形の拡張二重数を用い、$\epsilon^2 = 0$ および $\epsilon^3 = 0$ を満たすことで、関数、1次微分、2次微分の同時計算を可能にする。
• 三角関数（例：sin, cos）、指数関数（exp）などの基本関数およびベクトル／行列演算は、オペレータオーバーロードと連鎖則の伝播を用いて二重数形式で実装される。
• 本手法は、球面4R機構におけるトレース点の位置ベクトルに適用され、回転行列および外積を用いて表現される。
• トレース点の軌道は、2つのリンクベクトルの外積で定義される軸の周りのベクトルの回転としてモデル化される。
• 位置ベクトルの拡張二重数版は、直接的にその1次微分（速度）および2次微分（加速度）成分を提供する。
• 実装はFortranで記述され、一般的な運動学的関数の二重数版を提供するダウンロード可能なモジュールが用意されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重数を拡張して、1回の計算パスでベクトル関数の1次および2次微分を計算できるか？
• RQ2 二重数手法を、球面機構における複雑な運動学的関数に適応できるか？
• RQ3 本手法により、解析的導出を経ずにトレース点運動の正確な速度および加速度値を算出できるか？
• RQ4 有限差分法と比較して、本二重数手法の計算効率および数値的正確性はいかがなものか？
• RQ5 本手法は、機構設計用途に適した高性能言語（例：Fortran）で実装可能か？

主な発見

• 二重数手法により、有限差分法に内在する切り捨て誤差や打ち消し誤差のない正確な1次および2次微分の計算が可能である。
• さまざまな入力角 $\theta$ における速度および加速度成分が、高い精度で計算され、表2に示されている。
• 入力角 $\theta = 0.00000$ において、速度成分は $\dot{x}_{\text{gen}} = -0.14255$, $\dot{y}_{\text{gen}} = -0.06884$, $\dot{z}_{\text{gen}} = 0.59467$（SI単位）であった。
• 入力角 $\theta = 3.14159$ において、加速度成分は $\ddot{x}_{\text{gen}} = -0.00803$, $\ddot{y}_{\text{gen}} = 0.19437$, $\ddot{z}_{\text{gen}} = -0.09747$ であった。
• 拡張二重数表現から直接微分を抽出でき、別個の微分計算の必要がなくなる。
• Fortranでの実装により、球面機構における運動学的解析に再利用可能で、効率的かつ正確なツールが提供された。