[論文レビュー] A Dynamic Default Contagion Model: From Eisenberg-Noe to the Mean Field

Zachary Feinstein, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 60被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Eisenberg–Noeの銀行間ネットワークフレームワークと平均場理論を統合する動的デフォルト連鎖モデルを導入し、適切な条件下で有限ネットワーク系が適切に定義された平均場極限に収束することを示している。主な貢献は、ネットワークトポロジーを保ちながら共通ノイズを介して内生的デフォルト伝播を捉える条件付きMcKean–Vlasov型問題であり、2つの主要なシステミックリスクモデリングパラダイムを橋渡しするものである。

ABSTRACT

In this work we introduce a model of default contagion that combines the approaches of Eisenberg-Noe interbank networks and dynamic mean field interactions. The proposed contagion mechanism provides an endogenous rule for early defaults in a network of financial institutions. The main result is to demonstrate a mean field interaction that can be found as the limit of the finite bank system generated from a finite Eisenberg-Noe style network. In this way, we connect two previously disparate frameworks for systemic risk, and in turn we provide a bridge for exploiting recent advances in mean field analysis when modelling systemic risk. The mean field limit is shown to be well-posed and is identified as a certain conditional McKean-Vlasov type problem that respects the original network topology under suitable assumptions.

研究の動機と目的

• 2つの異なるシステミックリスクモデリングフレームワーク、Eisenberg–Noe銀行間ネットワークと平均場モデルを統合すること。
• バランスシートのインソリブリティに起因する確率的資産価値に基づく、動的で確率的なデフォルト連鎖メカニズムを構築すること。
• 有限ネットワーク系が元のネットワークトポロジーを尊重する平均場極限に収束することを確立すること。
• 平均場極限が共通ノイズのもとで適切に定義されており、条件付きMcKean–Vlasov問題として特徴づけられることを示すこと。
• 最近の平均場解析の進展をシステミックリスクモデリングに応用するための数学的基盤を提供すること。

提案手法

• Banerjeeら（2018）の動的ネットワークモデルを拡張し、実現資本に基づく早期デフォルトを含める。デフォルトは純資産が負になる場合に発生する。
• 個別的および共通のノイズ成分を有する一般化された幾何ブラウン運動を用いて、銀行間の債務義務と確率的資産価値をモデル化する。
• 機関数の数を無限大にした極限として平均場極限を導入し、個別的ノイズを平均化しながらデフォルト連鎖によるフィードバック効果を保持する。
• 損失過程が共通ノイズを条件とする分布に依存する条件付きMcKean–Vlasov型確率微分方程式として平均場極限を導出する。
• M1位相における緊密性および連続性の議論を用いて、有限ネットワークの損失過程が平均場極限に収束することを証明する。
• パスワイズ一意性およびYamada–Watanabeの議論に依拠し、極限分布が共通ノイズに関して可測であることを保証することで、条件付きMcKean–Vlasov定式化の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eisenberg–Noeネットワークのバランスシート構造と平均場モデルの漸近的解析を統合する動的デフォルト連鎖モデルを構築可能か？
• RQ2 機関数の数が増加する際、銀行間債務の有限ネットワーク系が適切に定義された平均場極限に収束するか？
• RQ3 平均場極限においてネットワークトポロジーはどのように保持されるか、特にデフォルト伝播とフィードバック効果の観点から。
• RQ4 平均場極限の数学的特徴づけは何か？また、どのような条件下で適切に定義されるか？
• RQ5 極限系は共通ノイズを尊重し、内生的デフォルトタイミングを捉える条件付きMcKean–Vlasov問題として表現可能か？

主な発見

• ネットワーク構造およびノイズ成分に関する適切な仮定のもとで、動的デフォルトを含む有限ネットワークモデルは、機関数の数が無限大に近づく際、平均場極限に収束する。
• 平均場極限は適切に定義されており、共通ノイズ$B_0$および銀行特性の経験的分布に依存する条件付きMcKean–Vlasov問題として特徴づけられる。
• 極限損失過程$\mathcal{L}_l(t)$は、共通ノイズおよび個々の銀行の特性を条件とする、ある銀行が時刻$t$までにデフォルトする条件付き確率の期待値として表現される。
• 個別的ノイズは極限において平均化されるが、デフォルト連鎖によるフィードバック効果は共通ノイズに依存し続けるため、システム全体のフィードバックメカニズムが保持される。
• $\mathbf{P}$が事前に$B_0$-可測でない場合に、緩和された解概念が導入されるが、パスワイズ一意性により、十分な正則性を持つ場合には極限分布が実際に$B_0$-可測であることが保証される。
• 損失過程$\mathcal{L}^n_l$が右連続で不連続な関数の空間におけるM1位相で$\mathcal{L}_l$に収束することが確立され、極限の安定性が確認された。