[論文レビュー] A Dynamic Programming Approach to Finite-horizon Coherent Quantum LQG Control

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Quantum Information and Cryptography被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限時間ホライズンの整合的量子LQG制御問題を、微分リャプノフ方程式に従う共分散駆動系の決定的最適制御問題に再定式化することにより、動的計画法を用いて解明する。主な貢献は、シンプレクティック不変性とポントレヤーギンの最小原理を用いて最適コントローラーのゲイン行列の代数的方程式を導出したことであり、古典的LQG分離の量子版としての準分離性を確立する。

ABSTRACT

The paper is concerned with the coherent quantum Linear Quadratic Gaussian (CQLQG) control problem for time-varying quantum plants governed by linear quantum stochastic differential equations over a bounded time interval. A controller is sought among quantum linear systems satisfying physical realizability (PR) conditions. The latter describe the dynamic equivalence of the system to an open quantum harmonic oscillator and relate its state-space matrices to the free Hamiltonian, coupling and scattering operators of the oscillator. Using the Hamiltonian parameterization of PR controllers, the CQLQG problem is recast into an optimal control problem for a deterministic system governed by a differential Lyapunov equation. The state of this subsidiary system is the symmetric part of the quantum covariance matrix of the plant-controller state vector. The resulting covariance control problem is treated using dynamic programming and Pontryagin's minimum principle. The associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation for the minimum cost function involves Frechet differentiation with respect to matrix-valued variables. The gain matrices of the CQLQG optimal controller are shown to satisfy a quasi-separation property as a weaker quantum counterpart of the filtering/control decomposition of classical LQG controllers.

研究の動機と目的

• 線形QSDEに従う時変の量子プラントを対象とする有限時間ホライズンの整合的量子LQG（CQLQG）制御問題に取り組む。
• 量子コントローラーの物理的実現可能性（PR）制約を尊重する解法フレームワークを構築する。
• ハミルトニアンパラメータライゼーションとシンプレクティック不変性を活用することで、量子LQG制御におけるPR条件に起因する結合性を克服する。
• 最適コントローラー構造における準分離性を通じて、古典的LQG分離原理の量子アナロジーを確立する。
• 最適コントローラーのゲインを支配する2つの非線形に結合されたリャプノフODEを解く2点境界値問題を定式化する。

提案手法

• CQLQG問題は、プラント・コントローラー状態ベクトルの共分散行列の対称部を状態とする補助系の決定的最適制御問題に再定式化する。
• コントローラーは、オープン量子調和振動子の自由ハミルトニアン、結合、散乱演算子に対応するハミルトニアン行列によってパラメータライズされ、物理的実現可能性が保証される。
• 動的計画法とポントレヤーギンの最小原理を適用し、行列値変数に関するフレシェ微分を含むハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を導出する。
• 補助系のコストレートは、閉ループ系の可観測性グラミアンに同定され、最適制御とシステムのグラミアンとの間の接続が可能になる。
• 最小コスト関数のシンプレクティック不変性が確立され、ハミルトニアンの最小化が2つの独立した二次最適化問題に簡略化される。
• 閉ループ系のグラミアンとハンケル行列を用いて、最適ゲイン行列を閉形式で導出する。これにより、非線形に結合されたリャプノフ方程式の2点境界値問題が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限時間ホライズンの整合的量子LQG制御問題は、物理的実現可能性制約のもとでどのように決定的最適制御問題に再定式化できるか？
• RQ2 シンプレクティック不変性は、最適量子コントローラーの構造をどのように簡略化するか？
• RQ3 古典的LQG分離原理の量子アナロジーを確立できるか。その場合、どのような形で実現されるか？
• RQ4 最適コントローラーのゲイン行列は、閉ループ系の可観測性および可制御性グラミアンにどのように依存するか？
• RQ5 最適コントローラーを支配するリャプノフ方程式の2点境界値問題の構造はどのようなものか？

主な発見

• 最適コントローラーのゲイン行列は、閉ループ系の可観測性および可制御性グラミアンを用いて閉形式で導出され、特別な自己随伴作用素の行列逆数によって表現される。
• 最小コスト関数はシンプレクティック不変性を示し、これによりハミルトニアンの最小化が2つの独立した二次最適化問題に分解可能になる。
• 最適コントローラーのゲインは準分離性を満たし、古典的LQGフィルタリング／制御分解の弱い量子版として解釈できる。
• システムのダイナミクスは、自由パラメータ $ R_t $ の選択にかかわらず、すべての $ t < T $ においてハンケル行列 $ H_t^{22} $ の反対称ハミルトニアン構造を保存する。
• 得られるコントローラー設計は、2つの非線形に結合された微分リャプノフ方程式の2点境界値問題に帰着され、$ R_t $ は境界条件を満たす自由パラメータとして機能する。
• 最適な $ R_t $ を求める方程式が存在しないことから、解の構造は $ R_t $ の最適性ではなく境界条件によって制約されており、その決定は未解決の問題のまま残っている。