[論文レビュー] A dynamical point of view of Quantum Information: entropy, pressure and Wigner measures

Alexandre Baraviera, Carlos F. Lardizabal+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、熱力学的形式主義におけるエントロピーと圧力の概念を量子系へ一般化することで、量子情報のための動的システム枠組みを導入する。量子自己相似関数系（QIFS）を介して密度行列上に作用する非線形作用素 $\mathcal{L}$ を定義し、作用素の重み付き合成による量子時間発展をモデル化する。さらに、離散ウィグナー関数を用いて量子状態のダイナミクスを分析する。

ABSTRACT

Quantum Information is a new area of research which has been growing rapidly since the last decade. This topic is very close to potential applications to the so called Quantum Computer. In our point of view it makes sense to develop a more "dynamical point of view" of this theory. We want to consider the concepts of entropy and pressure for "stationary systems" acting on density matrices which generalize the usual ones in Ergodic Theory (in the sense of the Thermodynamic Formalism of R. Bowen, Y. Sinai and D. Ruelle). We consider the operator $\mathcal{L}$ acting on density matrices $ρ\in \mathcal{M}_N$ over a finite $N$-dimensional complex Hilbert space $\mathcal{L}(ρ):=\sum_{i=1}^k tr(W_iρW_i^*)V_iρV_i^*,$ where $W_i$ and $V_i$, $i=1,2,... k$ are operators in this Hilbert space. $\mathcal{L}$ is not a linear operator. In some sense this operator is a version of an Iterated Function System (IFS). Namely, the $V_i (.) V_i^*=:F_i(.)$, $i=1,2,...,k$, play the role of the inverse branches (acting on the configuration space of density matrices $ρ$) and the $W_i$ play the role of the weights one can consider on the IFS. We also analyze the discrete Wigner function. We suppose that for all $ρ$ we have that $\sum_{i=1}^k tr(W_iρW_i^*)=1$. A family $W:=\{W_i\}_{i=1,..., k}$ determines a Quantum Iterated Function System (QIFS) $\mathcal{F}_{W}$, $\mathcal{F}_W=\{\mathcal{M}_N,F_i,W_i\}_{i=1,..., k}.$

研究の動機と目的

• エルゴディック理論および熱力学的形式主義からの概念を拡張することで、量子情報理論における動的視点を構築すること。
• 有限次元ヒルベルト空間上での密度行列に作用する定常量子系へ、エントロピーおよび圧力の概念を一般化すること。
• 量子自己相似関数系（QIFS）を構成する作用素族 $W_i$ および $V_i$ を用いて定義される非線形作用素 $\mathcal{L}$ を用いて、量子時間発展をモデル化すること。
• 離散ウィグナー関数を用いて、位相空間内での量子状態分布を研究するためのツールとしての役割を分析すること。
• すべての密度行列 $\rho$ に対して $\sum_{i=1}^k \mathrm{tr}(W_i\rho W_i^*) = 1$ を満たすことで、量子時間発展の正規化を保証すること。

提案手法

• 密度行列 $\rho \in \mathcal{M}_N$ 上に作用する非線形作用素 $\mathcal{L}(\rho) := \sum_{i=1}^k \mathrm{tr}(W_i\rho W_i^*) V_i\rho V_i^*$ を定義する。
• $F_i(\rho) = V_i\rho V_i^*$ を密度行列の配置空間上の逆写像と解釈し、量子状態変換をモデル化する。
• $W_i$ をQIFSフレームワークにおける重みとみなすことで、古典的自己相似関数系（IFS）の構造を一般化する。
• 量子状態のダイナミカルな時間発展を記述するため、QIFS $\mathcal{F}_W = \{\mathcal{M}_N, F_i, W_i\}_{i=1}^k$ を構築する。
• 量子時間発展の確率論的整合性を保証するため、正規化条件 $\sum_{i=1}^k \mathrm{tr}(W_i\rho W_i^*) = 1$ を用いる。
• QIFSダイナミクス下での量子状態の位相空間的表現を分析するために、離散ウィグナー関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的形式主義におけるエントロピーおよび圧力の概念を、密度行列で記述される量子系へ一般化する方法は何か？
• RQ2 密度行列上に作用する非線形作用素 $\mathcal{L}$ によって支配される量子系のダイナミクス的挙動はいかなるものか？
• RQ3 量子自己相似関数系（QIFS）の構造が、重み付き作用素を用いた量子状態時間発展をどのようにモデル化するか？
• RQ4 離散ウィグナー関数は、QIFS下での量子状態の位相空間的ダイナミクスを特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 正規化条件 $\sum_{i=1}^k \mathrm{tr}(W_i\rho W_i^*) = 1$ はどのように保たれ、量子ダイナミクスにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 非線形作用素 $\mathcal{L}$ は、エルゴディック理論における古典的転送作用素を量子領域へ一般化し、量子情報のための動的定式化を可能にする。
• QIFSフレームワークは、量子時間発展を作用素 $F_i(\rho) = V_i\rho V_i^*$ の重み付き合成として構造的にモデル化する手段を提供する。
• 正規化条件により、反復の過程で系全体の重みが一貫して保たれ、密度行列の確率論的解釈が維持される。
• 離散ウィグナー関数は、量子状態の位相空間的分布を分析するためのツールとして用いられ、量子ダイナミクスと古典的類似表現を結びつける。
• 本フレームワークにより、動的システムおよび作用素代数の観点から、エントロピーおよび圧力といった熱力学的概念が量子系へ成功裏に拡張された。
• $W_i$ および $V_i$ 作用素による $\mathcal{L}$ の構成は、非線形かつ量子的な文脈における、量子操作と自己相似関数系理論を統合する形式的枠組みを確立する。