[論文レビュー] A Dynamical Theory of Quantum Measurement and Spontaneous Localization

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Dec 21, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、量子「バブル」との特異的相互作用によって駆動される確率的ユニタリ発展を用いた動的量子測定理論を展開し、連続的な非破壊観測が量子フィルタリングを通じて自発的局在化を引き起こすことを示している。主な結果は、非確率的シュレーディンガー方程式を一般化する拡散型の確率的還元方程式であり、平均場極限において不可逆的なボルツマン型力学をもたらす。

ABSTRACT

We develop a rigorous treatment of discontinuous stochastic unitary evolution for a system of quantum particles that interacts singularly with quantum "bubbles" at random instants of time. This model of a "cloud chamber" allows to watch and follow with a quantum particle along the trajectory in the cloud chamber by sequential unsharp localization of spontaneous scatterings of the bubbles. Thus, the continuous reduction and spontaneous localization theory is obtained as the result of quantum filtering theory, i.e., a theory describing the conditioning of the a priori quantum state by the measurement data. We show that in the case of indistinguishable particles the a posteriori dynamics is mixing, giving rise to an irreversible Boltzmann-type reduction equation. The latter coincides with the nonstochastic Schroedinger equation only in the mean field approximation, whereas the central limit yields Gaussian mixing fluctuations described by stochastic reduction equations of diffusive type.

研究の動機と目的

• 連続的自発局在化の現象論的確率的還元方程式を、基本的なハミルトニアンモデルから導出すること。
• 連続的かつ非鋭い測定を記述するにあたり、フォン・ノイマンの射影仮説の限界を解消すること。
• 特異的相互作用の第二量子化を通じて、量子フィルタリングと自発的局在化の間の厳密な関係を確立すること。
• 同一粒子が、平均場極限においてボルツマン型還元方程式で記述される不可逆的混合力学を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 粒子とランダムな時刻に作用する量子「バブル」との特異的相互作用ハミルトニアンをモデル化し、デルタ関数を用いてユニタリ散乱を誘発する。
• 連続的測定データに基づいて事前量子状態を条件づけるために量子フィルタリング理論を適用し、確率的波動方程式を導出する。
• 第二量子化を用いて、同一粒子を含む多体系にまで単粒子モデルを拡張する。
• バブル相互作用の数え上げ過程における中心極限定理を用い、多数の弱い相互作用の極限において拡散型確率過程が得られることを示す。
• 対数微分による駆動項と拡散項を有する複素ウィーナー過程によって駆動される線形確率的シュレーディンガー方程式を定式化する。
• 得られた力学の混合性を証明し、不可逆的還元および平均場極限におけるボルツマン型方程式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的自発局在化の現象論的確率的還元方程式は、基本的なハミルトニアンモデルから導出可能か？
• RQ2 量子バブルによる連続的・非鋭的測定は、どのように粒子の位置の自発的局在化を引き起こすか？
• RQ3 量子フィルタリングは、連続的測定結果に条件づけられた系の力学を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ4 この枠組みにおいて、同一粒子と区別可能な粒子の間で力学にどのような差が生じるか？
• RQ5 平均場および中心極限定理の下で、非確率的シュレーディンガー方程式と確率的還元方程式の関係は何か？

主な発見

• 拡散型の確率的還元方程式は、特異的相互作用の列の中心極限として導出され、ドリフト項と拡散係数はメーター波動関数の対数微分によって決定される。
• 得られた状態ベクトルの確率的方程式は複素ウィーナー過程によって駆動され、平均二乗意味で正規化を保つ。
• 同一粒子の場合、事後力学は混合的であり、非確率的シュレーディンガー方程式を一般化する不可逆的ボルツマン型還元方程式に帰着する。
• 非確率的シュレーディンガー方程式は平均場近似でのみ回復可能であり、完全な確率的力学にはガウスノイズのゆらぎが含まれる。
• 還元ノイズ過程は実ウィーナー過程と可換でないため、測定の反作用に非マルコフ的かつ非古典的相関が存在することが示唆される。
• 密度演算子の導出された確率的方程式は拡散型であり、混合性を示し、一意な不変状態への収束を保証する。