[論文レビュー] A Dynamically Adaptive Sparse Grid Method for Quasi-Optimal Interpolation of Multidimensional Analytic Functions

Miroslav Stoyanov, Clayton Webster|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解析領域やLebesgue定数の事前知識を必要とせずに、多次元解析関数の準最適な補間を実現する動的適応的スパースグリッド手法を提案する。反復的に解析領域と作用素ノルムを推定することで、ノード数を最小限に抑えつつ高い精度を維持する多項式空間のグリーディ選択により補間子を構築し、パラメトリックなPDEにおいて従来のスパースグリッド手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

In this work we develop a dynamically adaptive sparse grids (SG) method for quasi-optimal interpolation of multidimensional analytic functions defined over a product of one dimensional bounded domains. The goal of such approach is to construct an interpolant in space that corresponds to the "best $M$-terms" based on sharp a priori estimate of polynomial coefficients. In the past, SG methods have been successful in achieving this, with a traditional construction that relies on the solution to a Knapsack problem: only the most profitable hierarchical surpluses are added to the SG. However, this approach requires additional sharp estimates related to the size of the analytic region and the norm of the interpolation operator, i.e., the Lebesgue constant. Instead, we present an iterative SG procedure that adaptively refines an estimate of the region and accounts for the effects of the Lebesgue constant. Our approach does not require any a priori knowledge of the analyticity or operator norm, is easily generalized to both affine and non-affine analytic functions, and can be applied to sparse grids build from one dimensional rules with arbitrary growth of the number of nodes. In several numerical examples, we utilize our dynamically adaptive SG to interpolate quantities of interest related to the solutions of parametrized elliptic and hyperbolic PDEs, and compare the performance of our quasi-optimal interpolant to several alternative SG schemes.

研究の動機と目的

• 解析領域やLebesgue定数の事前推定に依存せずに準最適収束を達成するスパースグリッド補間手法の開発を目的とする。
• 次元の呪いを克服するため、誤差推定に基づき多項式空間を適応的に精緻化することで、高次元関数近似を実現することを目的とする。
• ノード数を最小限に抑えつつ精度を維持するように、入れ子の1次元規則を用いて補間子を構築することを目的とする。
• アフィンでない解析関数や、1次元補間規則の任意の成長率に対しても、この手法を一般化することを目的とする。
• サンプリングに基づく補間を用いることで、レガシーソフトウェアにおける実装を可能にする。投影法に比べて計算コストが低い。

提案手法

• 本手法は、過去の補間子から解析領域とLebesgue定数の成長を反復的に推定することで、事前境界に依存しない。
• 2つのベクトル（解析領域のためのものとLebesgue定数の成長のためのもの）を用いて、最適な多項式空間のヒューリスティック推定を定式化する。
• 計算コストの高いナップサック問題を回避するため、与えられた多項式空間をカバーする最小のテンソル積規則の集合を選択する。
• Clenshaw-CurtisやLejaといった入れ子の1次元規則を採用し、作用素ノルムのグリーディ最小化により新しい規則を導出する。
• 補間子は、より精緻化されたグリッドの逐次的系列に基づき構築され、すべての過去のサンプルを再利用することで効率性を確保する。
• 本手法は、パラメトリックな楕円型および放物型PDEに適用可能であり、非線形問題においても安定した性能を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析関数の解析領域や補間作用素のLebesgue定数の事前推定を必要とせずに、スパースグリッド補間手法が準最適性を達成できるか。
• RQ2 このような事前情報が欠如する状況下で、最適な多項式空間をどのように適応的に推定できるか。
• RQ3 本手法は、非線形および異方的問題を含むさまざまなタイプのパラメトリックPDEにおいて、高い収束率を維持できるか。
• RQ4 本手法は、Lebesgue定数の成長率が異なる1次元補間規則に対しても、任意の成長率に一般化可能か。
• RQ5 従来のスパースグリッド手法と比較して、動的適応的手法の収束速度およびノード効率はどのように異なるか。

主な発見

• 動的適応的手法は、解析領域やLebesgue定数の事前知識を必要とせず、多次元解析関数の補間において準最適な収束率を達成した。
• パラメトリックな楕円型および放物型PDEにおいて、標準的なスパースグリッド手法を上回る性能を示した。非線形問題（定常Burgers方程式）に対しても同様の結果を得た。
• Burgers方程式のテストケースでは、異方的減衰特性を示す量の目的関数を、推定パラメータ α̂ ≈ 1.22, 1.53, 0.25 および β̂ ≈ -1.57, -1.71, 0.25（Clenshaw-Curtisノードを用いて）を用いて高精度に補間した。
• LejaノードとClenshaw-Curtisノードの両方を用いた場合、類似した収束行動を示し、異なる1次元規則族にわたるロバストネスを確認した。
• 本手法は、解の異方的減衰パターンを効果的に同定でき、対流項および拡散項における y₁, y₂, y₃ の寄与が明確に分離された。
• 解析領域およびLebesgue定数パラメータの反復的推定により、近似的に最適な多項式空間の構築が可能となり、必要なノード数を削減しながらも高い精度を維持した。